Question

18．现有若干个数，第1个数记为a₁，第二个数记为a₂，第三个数记为a₃…，第n个数记为a_n，若a₁=-$\frac{1}{2}$，从第二个数起，每个数都等于“1与它前面的那个数的差的倒数．”
（1）试计算a₂=3，a₃=$\frac{2}{3}$，a₄=-$\frac{1}{2}$．
（2）根据以上结果，请你写出a₂₀₁₁=-$\frac{1}{2}$，a₂₀₁₆=$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 （1）根据“差倒数”的定义分别计算即可得解；
（2）根据（1）的计算发现每三个数为一个循环组依次循环，用2011除以3，2016除以3，再根据商和余数的情况判断即可．

解答 解：（1）a₂=1-$\frac{1}{{a}_{1}}$=1-（-2）=3，
a₃=1-$\frac{1}{{a}_{2}}$=1-$\frac{1}{3}$=$\frac{2}{3}$，
a₄=1-$\frac{1}{{a}_{3}}$=1-$\frac{3}{2}$=-$\frac{1}{2}$；

（2）∵2011÷3=670余1，
∴a₂₀₁₁=a₁=-$\frac{1}{2}$，
∵2016÷3=672，
∴a₂₀₁₆=a₃=$\frac{2}{3}$．
故答案为：（1）3，$\frac{2}{3}$，-$\frac{1}{2}$；（2）-$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{3}$．

点评 本题是对数字变化规律的考查，读懂题目信息，理解差倒数的定义并通过求解观察出每三个数为一个循环组依次循环是解题的关键．