Question

8．（1）如图1，点C是线段AB上一点，分别以AC，BC为边在AB的同侧作等边三角形ACM和等边三角形CBN，连接AN，BM．分别取BM，AN的中点E，F，连接CE，CF，EF．观察并猜想△CEF的形状，并说明理由．
（2）若将 （1）中的“以AC，BC为边在AB的同侧作等边三角形ACM和等边三角形CBN”改为“以AC，BC为腰在AB的同侧作等腰三角形ACM和等腰三角形CBN，且∠ACM=∠BCN≠60°”，其他条件不变，如图2所示，那么 （1）中的结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先求证△ACN≌△MCB，得出AN=BM，∠ANC=∠MBA，再证△NFC≌△BEC，得出CE=CF，∠BCE=∠NCF，利用等边三角形的角度60，得出∠ECF=60°，证得结论成立；
（2）证明过程如上（1）中的结论只有CE=CF，而∠ECF只等于等腰三角形的顶角≠60°，得出结论不成立．

解答 解：（1）△CEF是等边三角形．理由如下：
∵等边△ACM和△CBN，
∴AC=MC，BC=NC，∠ACM=∠BCN，
∴∠ACN=∠MCB，
在△ACN和△MCB中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=MC}&{\;}\\{∠ACN=∠MCB}&{\;}\\{NC=BC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ACN≌△MCB（SAS），
∴AN=MB，∠ANC=∠MBA，
∵BM，AN的中点分别为E，F，
∴NF=BE，
在△NFC和△BEC中，$\left\{\begin{array}{l}{NF=BE}&{\;}\\{∠FNC=∠EBC}&{\;}\\{NC=BC}&{\;}\end{array}\right.$
∴△NFC≌△BEC（SAS），
∴EC=CF，∠BCE=∠NCF，
∵∠BCE+∠ECN=60°，
∴∠ECF=60°，
∴△CEF是等边三角形；
（2）不成立，理由如下：
方法同（1）可得△CAN≌△CMB，△ACF≌△MCE，
∴CE=CF，∠ACF=∠MCE．
∵∠ACF=∠ACM+∠MCF，
∴∠MCE=∠MCF+∠FCE，即∠ECF=∠ACM≠60°，
∴△CEF是等腰三角形

点评 此题考查了等边三角形的性质与判定，三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质等知识点；熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键．