Question

7．如图，平面直角坐标系中，点A的坐标（-3，0），等边三角形AOC经过平移或轴对称或旋转都可以得到△OBD
（1）△AOC沿x轴向右平移得到△OBD，则平移的距离是3个单位长度；△AOC与△BOD关于直线对称，则对称轴是y；△AOC绕原点O顺时针旋转得到△DOB，则旋转角度可以是120度
（2）连结AD，交y轴于点E，求点E的坐标．

Answer 1

分析 （1）由点A的坐标为（-3，0），根据平移的性质得到△AOC沿x轴向右平移3个单位得到△OBD，则△AOC与△BOD关于y轴对称；根据等边三角形的性质得∠AOC=∠BOD=60°，则∠AOD=120°，根据旋转的定义得△AOC绕原点O顺时针旋转120°得到△DOB；
（2）连接AD，证明∠ADB=90°，再由△AOE∽△ADB，求出OE的长即可．

解答 解：（1）∵点A的坐标为（-3，0），
∴△AOC沿x轴向右平移3个单位得到△OBD；
∴△AOC与△BOD关于y轴对称；
∵△AOC为等边三角形，
∴∠AOC=∠BOD=60°，
∴∠AOD=120°，
∴△AOC绕原点O顺时针旋转120°得到△DOB．
故答案为：3；y轴；120；
（2）如图，∵OA=OD，∠BOD=60°，
∴∠ADO=30°，
∴∠ADB=90°
∵AB=6，BD=3，
∴AD=3$\sqrt{3}$，
∵△AOE∽△ADB，
∴$\frac{AO}{AD}=\frac{OE}{BD}$
∴OE=$\sqrt{3}$，
∴点E的坐标为：（0，$\sqrt{3}$）．

点评 本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了等边三角形的性质、轴对称的性质、平移的性质以及相似三角形的判定与性质．第2小题发现△AOE∽△ADB是解决问题的关键．