Question

如图，平面直角坐标系中，Rt△ABC，∠C=90°，∠CAB=45°，点C（-4，2），先将△ABC向右平移m个单位到△A₁B₁C₁，使△A₁B₁C₁与△ABC关于y轴对称；绕点B₁顺时针旋转90°，得到△A₂B₁C₂．
（1）请在图中画出△A₁B₁C₁和△A₂B₁C₂．
（2）填空：m=

 

．点C₁（

 

，

 

），点C₂（

 

，

 

）
（3）经过这两次图形变换，请你求出点C经过的路径长．（用π表示）

Answer 1

考点：作图-旋转变换,弧长的计算,作图-轴对称变换,作图-平移变换

专题：作图题

分析：（1）根据等腰直角三角形的性质，利用点C的坐标求出点A、B的坐标，再根据对称性确定出点A₁、B₁、C₁的坐标，然后顺次连接即可得解，再根据旋转变换的性质确定出A₁、C₁绕点B₁顺时针旋转90°的对应点A₂、C₂的位置，然后顺次连接即可得解；
（2）根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同求出一对对应点之间的距离就是m的值，根据点C到AB的距离等于点C的纵坐标，以及对称变换、旋转变换只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小求解即可；
（3）分平移变换点C到C₁的距离等于m的值，旋转变换点C₁、C₂，先根据等腰直角三角形的性质求出BC的长度，然后利用弧长公式列式进行计算即可求解，然后两者相加即可．

解答：解：（1）∵Rt△ABC，∠C=90°，∠CAB=45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵点C（-4，2），
∴AB=2×2=4，
∴点A、B的坐标分别为A（-6，0），B（-2，0），
∵△A₁B₁C₁与△ABC关于y轴对称，
∴A₁（2，0），B₁（6，0），C₁（4，2），
如图所示，△A₁B₁C₁即为所求作的三角形；
点A₂、C₂的坐标分别为A₂（6，4），C₂（8，2），
如图所示，△A₂B₁C₂即为所求作的三角形；

（2）∵B（-2，0）、B₁（6，0），
∴BB₁=6-（-2）=6+2=8，
∴m=8，
故答案为：8；4，2；8，2；

（3）①点C到C₁的平移距离为m=8，
②在RtABC中，BC=

2

2

AB=2

2

，
点C₁到C₂经过的路径长为

90•π• 2 2

180

=

2

π，
故两次图形变换点C经过的路径长为8+

2

π．

点评：本题考查了利用平移变换与旋转变换作图，等腰直角三角形的性质，弧长的计算，根据平移与旋转的性质求出对应点的坐标并准确找出对应点的位置是解题的关键．