Question

11．如图，圆锥的母线长是6，底面半径是2，A是底面圆周上的一点，从点A出发绕侧面一周，再回到点A的最短路线的长是6$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 把圆锥的侧面展开，如图，作SH⊥AA′，设∠ASA′=n°，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式可计算出n=120°，即∠ASA′=120°，在Rt△ASH中计算出AH=3$\sqrt{3}$，于是得到AA′=2AH=6$\sqrt{3}$，然后利用两点之间线段最短得到从点A出发绕侧面一周，再回到点A的最短路线的长．

解答 解：把圆锥的侧面展开，如图，作SH⊥AA′，设∠ASA′=n°，
根据题意得2•π•2=$\frac{n•π•6}{180}$，解得n=120°，
即∠ASA′=120°，
∵SA=SA′，SH⊥AA′，
∴∠A′AS=30°，AH=A′H，
在Rt△ASH中，∵SA=6，
∴SH=$\frac{1}{2}$SA=3，
∴AH=3$\sqrt{3}$，
∴AA′=2AH=6$\sqrt{3}$，
∴从点A出发绕侧面一周，再回到点A的最短路线的长为6$\sqrt{3}$．
故答案为6$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．解决本题的关键是把立体几何问题转化为平面几何问题．