Question

12．已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，AE∥CF，且分别交对角线BD于点E，F．
（1）求证：△AEB≌△CFD；
（2）连接AF，CE，若∠AFE=∠CFE，求证：四边形AFCE是菱形．

Answer 1

分析 （1）利用平行四边形的性质结合全等三角形的判定方法（AAS），得出即可；
（2）利用全等三角形的性质得出AE=CF，进而求出四边形AFCE是平行四边形，再利用菱形的判定方法得出答案．

解答 证明：（1）如图：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB=DC，
∴∠1=∠2，
∵AE∥CF，
∴∠3=∠4，
在△AEB和△CFD中，
$\left\{\begin{array}{l}∠3=∠4\\∠1=∠2\\ AB=CD\end{array}\right.$，
∴△AEB≌△CFD（AAS）；

（2）∵△AEB≌△CFD，
∴AE=CF，
∵AE∥CF，
∴四边形AFCE是平行四边形．  
∵∠5=∠4，∠3=∠4，
∴∠5=∠3．
∴AF=AE．
∴四边形AFCE是菱形．

点评 此题主要考查了平行四边形的性质以及菱形的判定和全等三角形的判定与性质，正确利用全等三角形的判定与性质是解题关键．