Question

已知关于x的方程x²-（2k+1）x+k²+2k=0有两个实数根x₁，x₂．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若

x1

x2

+

x2

x1

=1成立，求k的值．

Answer 1

考点：根的判别式,根与系数的关系

专题：

分析：（1）根据判别式的意义可得△=（2k+1）²-4（k²+2k）≥0，解不等式即可求出实数k的取值范围；
（2）利用根与系数的关系将两根之和和两根之积代入代数式求k的值即可．

解答： 解：（1）∵关于x的方程x²-（2k+1）x+k²+2k=0有两个实数根x₁，x₂，
∴△=（2k+1）²-4（k²+2k）≥0，
解得k≤

1

4

；

（2）由根与系数关系知：x₁+x₂=2k+1，x₁x₂=k²+2k，
∵

x1

x2

+

x2

x1

=1，
∴

(2k+1)2-2(k2+2k)

k2+2k

=1，
解得k=1，
经检验k=1是方程的根，但是不能使原方程有实数根，
故所求k的值不存在．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了根与系数的关系．