Question

如图，在边长为1的等边△OAB中，以边AB为直径作⊙D，以D为圆心似长为半径作

圆O、C为半圆AB上不与A、B重合的一动点，射线AC交⊙O于点E，BC=a，AC=b，

（1）求证：AE=b+a；

（2）求a+b的最大值；

（3）若m是关于x的方程：x+ax=b+ab的一个根，求m的取值范围．

 

Answer 1

【答案】

（1）连接BE，根据等边三角形的性质可得∠AOB=60°，即得∠AEB=30°，再根据圆周角定理可得∠ACB=∠BCE=90°，根据含30°角的直角三角形的性质可得BE=2a，CE=a，即可得到结果；(2) ；（3）或

【解析】

试题分析：（1）连接BE，根据等边三角形的性质可得∠AOB=60°，即得∠AEB=30°，再根据圆周角定理可得∠ACB=∠BCE=90°，根据含30°角的直角三角形的性质可得BE=2a，CE=a，即可得到结果；

（2）过点C作CH⊥AB于H，根据(a+b)²=a²+b²+2ab=1+2ab=1+2CH·AB=1+2CH≤1+2AD=2即可得到结果；

（3）由x+ax=b+ab可求得x=b或x=-(b+a)，分a=m=b与m=-(b+a)两种情况分析即可.

（1）连接BE

∵△ABC为等边三角形

∴∠AOB=60°

∴∠AEB=30°

∵AB为直径

∴∠ACB=∠BCE=90°

∵BC=a

∴BE=2a

CE=a

∵AC=b     

∴AE=b+a；

（2）过点C作CH⊥AB于H

在Rt△ABC中，BC=a，AC=b，AB=1

∴a²+b²=1

∴(a+b)²=a²+b²+2ab=1+2ab=1+2CH·AB=1+2CH≤1+2AD=2

∴a+b≤，故a+b的最大值为；

（3）x+ax=b+ab

∴x-b+ax-ab=0  

(x+b)(x-b)+ a(x-b)=0

(x-b)(x+b+a)=0

∴x=b或x=-(b+a)

当a=m=b时，m=b=AC<AB=1

∴0<m<1 

当m=-(b+a)时，由（1）知AE=-m

又AB<AE≤2AO=2

∴1<-m≤2

∴-2≤m<-1

∴m的取值范围为或.

考点：圆的综合题

点评：本题知识点较多，综合性强，难度较大，一般是中考压轴题，需要特别注意.