题目内容
【题目】在平面直角坐标系中，点O为原点，平行于x轴的直线与抛物线L：
相交于A，B两点（点B在第一象限），点D在AB的延长线上．
（1）已知a=1，点B的纵坐标为2．
①如图1，向右平移抛物线L使该抛物线过点B，与AB的延长线交于点C，求AC的长．
②如图2，若BD=
AB，过点B，D的抛物线L2，其顶点M在x轴上，求该抛物线的函数表达式．
（2）如图3，若BD=AB，过O，B，D三点的抛物线L3，顶点为P，对应函数的二次项系数为a3，过点P作PE∥x轴，交抛物线L于E，F两点，求
的值，并直接写出
的值．
【答案】（1）①
；②
；（2）
，
．
【解析】
试题分析：（1）①根据函数解析式求出点A、B的坐标，求出AC的长；
②作抛物线L2的对称轴与AD相交于点N，根据抛物线的轴对称性求出OM，利用待定系数法求出抛物线的函数表达式；
（2）过点B作BK⊥x轴于点K，设OK=t，得到OG=4t，利用待定系数法求出抛物线的函数表达式，根据抛物线过点B（t，
），求出
的值，根据抛物线上点的坐标特征求出
的值．
试题解析：（1）①二次函数
，当y=2时，2=
，解得
，
，∴AB=
．
∵平移得到的抛物线L1经过点B，∴BC=AB=，∴AC=．
②作抛物线L2的对称轴与AD相交于点N，如图2，根据抛物线的轴对称性，得BN=
DB=
，∴OM=
．
设抛物线L2的函数表达式为
，由①得，B点的坐标为（
，2），∴
，解得a=4．∴抛物线L2的函数表达式为
；
（2）如图3，抛物线L3与x轴交于点G，其对称轴与x轴交于点Q，过点B作BK⊥x轴于点K，设OK=t，则AB=BD=2t，点B的坐标为（t，），根据抛物线的轴对称性，得OQ=2t，OG=2OQ=4t．
设抛物线L3的函数表达式为
，∵该抛物线过点B（t，），∴
，∵t≠0，∴，由题意得，点P的坐标为（2t，
），则
，解得：
，
，EF=
，∴．
