Question

5．已知抛物线y=ax²+x+c（a≠0）经过A（-1，0），B（2，0）两点，与y轴交于点C，该抛物线的顶点为点M，对称轴与直线BC相交于点N，与x轴相交于点D．
（1）求该抛物线的解析式及顶点M的坐标；
（2）求△BOC与△BDN的面积比；
（3）点E是抛物线上一动点，且位于第一象限，当点E到直线BC的距离为$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，求点E的坐标．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法即可解决问题．
（2）说清楚C、D、N三点坐标，利用三角形的面积公式即可解决问题．
（3）设E（m，-m²+m+2），作EG∥OC交BC于G，EF⊥BC于F，则△EFG是等腰直角三角形，求出EG的长，列出方程即可解决问题．

解答 解：（1）把A（-1，0），B（2，0）两点坐标代入y=ax²+x+c得到$\left\{\begin{array}{l}{a-1+c=0}\\{4a+2+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{c=2}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=-x²+x+2．
顶点M（$\frac{1}{2}$，$\frac{9}{4}$）．

（2）∵B（2，0），C（0，2），
∴直线BC的解析式为y=-x+2，
∴D（$\frac{1}{2}$，0），N（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$），
∴S_△BOC：S_△BDN=$\frac{1}{2}$×2×2：$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$×$\frac{3}{2}$=16：9．

（3）设E（m，-m²+m+2），作EG∥OC交BC于G，EF⊥BC于F，则△EFG是等腰直角三角形，
∵EF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴EG=1，
∵G（m，-m+2），
∴-m²+m+2-（-m+2）=1，
∴m²-2m+1=0，
∴m=1，
∴E（1，2）．

点评 本题考查待定系数法．抛物线由x轴的交点，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用待定系数法确定函数解析式，学会利用方程解决问题，属于中考常考题型．