Question

如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，点P是边AB 上的一个动点，把△APD沿PD向矩形内折叠成△EPD，过E点作EF⊥BC于F，作EG⊥CD于G，如果四边形EFCG与矩形ABCD相似，则AP=

 

．

Answer 1

考点：相似多边形的性质,翻折变换（折叠问题）

专题：计算题

分析：延长GE交AB于H，如图，根据相似多边形的性质可得EF=2GE，则DG=CD-CG=2-GE，再利用折叠的性质得DE=AD+1，PA=PE，接着根据勾股定理得GE²+（2-GE）²=1²，解得GE=

3

5

，于是可计算出DG=

4

5

，EH=GH-GE=

2

5

，设AP=x，则PE=x，PH=AH-AP=

4

5

-x，然后在Rt△PEH中，根据勾股定理得到（

2

5

）²+（

4

5

-x）²=x²，再解方程求出x的值即可．

解答：解：延长GE交AB于H，如图，
∵四边形EFCG与矩形ABCD相似，
∴

GE

AD

=

EF

AB

，即

GE

1

=

EF

2

，
∴EF=2GE，
∴CG=2GE，
∴DG=CD-CG=2-GE，
∵△APD沿PD向矩形内折叠成△EPD，
∴DE=AD+1，PA=PE，
在Rt△DGE中，∵GE²+DG²=DE²，
∴GE²+（2-GE）²=1²，解得GE=

3

5

，
∴DG=

4

5

，EH=GH-GE=

2

5

，
设AP=x，则PE=x，PH=AH-AP=

4

5

-x，
在Rt△PEH中，∵EH²+PH²=PE²，
∴（

2

5

）²+（

4

5

-x）²=x²，解得x=

1

2

，
即AP的长为

1

2

．
故答案为

1

2

．

点评：本题考查了相似多边形的性质为：对应角相等；对应边的比相等．也考查了折叠的性质和勾股定理．