Question

如图，AB是⊙O的直径，C，P是

AB

上两点，AB=10，AC=6．
（1）如图1，若点P是

AB

的中点，求PA的长；
（2）如图2，若点P是

BC

的中点，求PA的长．

Answer 1

考点：圆周角定理,全等三角形的判定与性质,勾股定理,圆心角、弧、弦的关系

专题：计算题

分析：（1）连结PB，如图1，根据圆周角定理得到∠APB=90°，根据圆心角、弧、弦的关系由

PA

=

PB

得到PA=PB，则△PAB为等腰直角三角形，所以PA=

2

2

AB=5

2

；
（2）连结BC、BP、PO，OP交BC于H，根据圆周角定理得，∠APB=∠ACB=90°，再根据垂径定理得OP⊥BC，则OH=

1

2

AC=3，在Rt△OBH中利用勾股定理计算出BH=4，在Rt△PBH中计算出PB=2

5

，然后在Rt△ABP中利用勾股定理可计算出PB=4

5

．

解答：解：（1）连结PB，如图1，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠APB=90°，
∵点P是

AB

的中点，
∴

PA

=

PB

，
∴PA=PB，
∴△PAB为等腰直角三角形，
∴PA=

2

2

AB=

2

2

×10=5

2

；
（2）连结BC、BP、PO，OP交BC于H，如图2，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠APB=∠ACB=90°，
∵点P是

BC

的中点，
∴OP⊥BC，
∴BH=CH，
∴OH=

1

2

AC=3，
在Rt△OBH中，∵OB=5，OH=3，
∴BH=

OB2-OH2

=4，
在Rt△PBH中，∵PH=OP-OH=5-3=2，BH=4，
∴PB=

PH2+BH2

=2

5

，
在Rt△ABP中，∵AB=10，PB=2

5

，
∴PA=

AB2-PB2

=4

5

．

点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了勾股定理．