Question

【题目】如图，在中，，，，点是的中点，点在边上，将沿翻折，使点落在点处，当时，________．

Answer 1

【答案】或

【解析】

分两种情况进行讨论：①当A'在AC上方时，由折叠可得∠AED＝∠A'ED，当A'E⊥AC时，∠AED＝∠A'ED＝45°，再过D作DF⊥AC于F，过B作BG⊥A'E于G，则△DEF是等腰直角三角形，再根据DF∥BC，D是AB的中点，BC=6，求得，最后根据等腰Rt△A'BG可得；②当A'在AC下方时，也是作辅助线构造等腰直角三角形和矩形，利用勾股定理进行计算求解．

解：①如图所示，A'在AC上方，

∵在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，

∴AB＝10， 由折叠可得∠AED＝∠A'ED，

当A'E⊥AC时，∠AED＝∠A'ED＝45°，

如图，过D作DF⊥AC于F，过B作BG⊥A'E于G，则△DEF是等腰直角三角形，

∵DF∥BC，D是AB的中点，AC＝8,BC＝6，

∴AF＝CF＝AC=4，DF＝BC＝3，

∴EF＝3，CE＝，

∴矩形BCEG中，BG＝CE＝1，BC＝EG＝6，

∵AE＝， ∴A'E＝7， ∴A'G＝，即A'G＝BG，

∴在等腰Rt△A'BG中，A'B＝．

②如图所示，A'在AC的下方，过D作DF⊥AC于F，过A'作A'G⊥BC于G，

由折叠可得∠AED＝∠A'ED，

当A'E⊥AC时，∠AED＝∠A'ED＝135°，∠A'EF＝90°，故∠DEF＝45°，即△DEF是等腰直角三角形，

∴DF＝EF＝BC＝3，

又∵AF＝AC＝4，

∴AE＝1，EC＝A'G，

∵A'E＝AE＝1，

∴CG＝1，BG＝BC+CG＝7，即A'G=BG，

∴在等腰Rt△A'BG中，A'B＝，

故答案为：或．