Question

16．如图，AB为⊙O的直径，点C为半圆上一点，AD平分∠CAB交⊙O于点D
（1）求证：OD∥AC；
（2）若AC=8，AB=10，求AD．

Answer 1

分析 （1）由AD平分∠CAB交⊙O于点D，得到∠CAD=∠BAD，根据等腰三角形的性质得到∠DAB=∠D，等量代换得到∠CAD=∠D，根据平行线的判定定理即可得到结论；
（2）连接BC，BD，根据圆周角定理得到∠C=90°，根据勾股定理即可得到结论．

解答 （1）证明：∵AD平分∠CAB交⊙O于点D，
∴∠CAD=∠BAD，
∵OA=OD，
∴∠DAB=∠D，
∴∠CAD=∠D，
∴AC∥OD；
（2）解：连接BC，BD，
∵AD平分∠CAB交⊙O于点D，
∴$\widehat{CD}$=$\widehat{BD}$，
∴CE=BE，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠C=90°，
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=6，
∴CE=BE=3，
∴OE=$\sqrt{O{B}^{2}-B{E}^{2}}$=4，
∴DE=1，
∴BD=$\sqrt{D{E}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∴AD=$\sqrt{A{B}^{2}-B{D}^{2}}$=3$\sqrt{10}$．

点评 本题考查了圆周角定理，勾股定理，垂径定理，正确的作出辅助线是解题的关键．