Question

6．在△ABC中，AB=15，AC=13，D是边BC所在直线上的一点，AD=12，BD=9，则△ABC的面积为84或24．

Answer 1

分析 首先画出图形，先根据勾股定理的逆定理判断出△ABD的形状，再根据勾股定理求出CD的长，得出BC，即可求出△ABC的面积．

解答 解：如图1所示：
∵AB=15，AD=12，BD=9，15²=12²+9²，
∴△ABD是直角三角形，∠ADC=∠ADB=90°．
∵AC=13，
∴CD=$\sqrt{1{3}^{2}-1{2}^{2}}$=5，
∴BC=BD+CD=5+9=14，
∴△ABC的面积=$\frac{1}{2}$BC×AD=$\frac{1}{2}$×14×12=84．
如图2所示，
∵AB=15，AD=12，BD=9，15²=12²+9²，
∴△ABD是直角三角形，∠ADC=∠ADB=90°．
∵AC=13，
∴CD=$\sqrt{1{3}^{2}-1{2}^{2}}$=5，
∴BC=BD+CD=9-5=4，
∴△ABC的面积=$\frac{1}{2}$BC×AD=$\frac{1}{2}$×4×12=24，
故答案为：84或24．

点评 本题考查的是勾股定理的逆定理、勾股定理以及三角形面积的计算；熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理，证明△ABD是直角三角形是解决问题的关键．