Question

6．如图，矩形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，过O作EF⊥AC，交AD于E，交BC于F，连接AF、CE．
（1）求证：四边形AECF是菱形
（2）若AB=3，BC=4，则菱形AECF的周长？

Answer 1

分析 （1）利用已知条件和矩形的性质易证△AEO≌△CFO，进而可得四边形AECF是平行四边形，又因为EF⊥AC，所以可证明四边形AECF是菱形
（2）设AE=CE=x，则DE=4-x，在直角三角形EDC中，利用勾股定理可求出x的值，进而可求出菱形的周长．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=CO，AD∥BC，
∴∠OAE=∠OCF，
∵EF⊥AC，
∴∠AOE=∠COF=90°，
在△AEO和△CFO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OAE=∠OCF}\\{AO=CO}\\{∠AOE=∠COF}\end{array}\right.$，
∴△AEO≌△CFO，
∴OE=OF，
∵AO=CO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴四边形AECF是菱形；

（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=3，BC=AD=4，
AE=CE=x，则DE=4-x，在直角三角形EDC中由勾股定理可得：CE²=DE²+CD²，
即a²=（4-a）²+3²，
解得：a=$\frac{25}{8}$，
∴菱形AECF的周长=4×$\frac{25}{8}$=12.5．

点评 本题考查了矩形的性质、菱形的判定和性质以及勾股定理的运用，熟记各种特殊四边形的判定方法和性质是解题关键．