Question

细心观察，认真分析，然后解答问题：

( 1 )2+1=2，S1= 1 2 ；( 2 )2+1=3，S2= 2 2 ； ( 3 )2+1=4，S3= 3 2 ；…

（1）用含n（n是正整数）的等式表示上述变化规律

（

n-1

）²+1²=n，S_n=

n

2

；
（2）OA₁₀的长

10

；
（3）求出

S

2 1

+

S

2 2

+

S

2 3

+…+

S

2 10

的值．

Answer 1

分析：（1）观察上述结论及所给图形，会发现第n个图形的一直角边就是

n

，然后利用面积公式可得．
（2）将n=10，代入（1）中的表达式即可得出答案；
（3）把n=1，2，3…10，分别代入到（1）所推出的结论S_n=

n

，即可求出S₁²，S₂²，S₃²，…S₁₀²的值，即可推出结果．

解答：解：（1）根据所给图形，可得OA_n=（

n-1

）²+1²=n，则S_n=

1

2

×1×

n

=

n

2

；
即可得规律：（

n-1

）²+1²=n，S_n=

1

2

×1×

n

=

n

2

；

（2）由（1）得OA_n=

n

，故OA₁₀=

10

；

（3）S₁²+S₂²+S₃²+…+S₁₀²=（

1

2

）²+（

2

2

）²+（

3

2

）²+…+（

10

2

）²
=

1

4

+

2

4

+

3

4

+

4

4

+

5

4

+…+

10

4

=

55

4

．
故答案为：（

n-1

）²+1²=n，S_n=

n

2

；

10

．

点评：此题考查了勾股定理的知识，关键是观察题中给出的结论及所给图形的特点，由此结论找出规律进行计算，千万不可盲目计算．