Question

如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE=DF，AE、BF相交于点O，下列结论：
①AE=BF；②AE⊥BF；③AO=OE；④∠CEA=∠DFB；⑤S_△AOB=S_{四边形DEOF}．
其中正确的结论有（　　）

• A、2个
• B、3个
• C、4个
• D、5个

Answer 1

考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质

专题：

分析：根据正方形的性质得AB=AD=DC，∠BAD=∠D=90°，则由CE=DF易得AF=DE，根据“SAS”可判断△ABF≌△DAE，所以AE=BF；
根据全等的性质得∠ABF=∠EAD，∠AFB=∠DEA，利用∠EAD+∠EAB=90°得到∠ABF+∠EAB=90°，则AE⊥BF；
连结BE，BE＞BC，BA≠BE，而BO⊥AE，根据垂直平分线的性质得到OA≠OE；
最后根据△ABF≌△DAE得S_△ABF=S_△DAE，则S_△ABF-S_△AOF=S_△DAE-S_△AOF，即S_△AOB=S_{四边形DEOF}．

解答：解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD=DC，∠BAD=∠D=90°，
而CE=DF，
∴AF=DE，
在△ABF和△DAE中

AB=DA ∠BAD=∠ADE AF=DE

，
∴△ABF≌△DAE（SAS），
∴AE=BF，故①正确；
∴∠ABF=∠EAD，∠AFB=∠DEA，
∴∠CEA=∠DFB，故④正确；
而∠EAD+∠EAB=90°，
∴∠ABF+∠EAB=90°，
∴∠AOB=90°，
∴AE⊥BF，故②正确；
连结BE，
∵BE＞BC，
∴BA≠BE，
而BO⊥AE，
∴OA≠OE，故③错误；
∵△ABF≌△DAE，
∴S_△ABF=S_△DAE，
∴S_△ABF-S_△AOF=S_△DAE-S_△AOF，
∴S_△AOB=S_{四边形DEOF}，故⑤正确．
综上所述，正确的结论有4个．
故选：C．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了正方形的性质．