Question

20．如图，矩形OCBD的顶点O与坐标原点重合，点C在x轴上，点A在对角线OB上，且OA=$\sqrt{5}$，tan∠BOC=$\frac{1}{2}$．反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象经过点A，交BC、BD于点M、N，CM=$\frac{2}{3}$，连接OM、ON、MN．
（1）求反比例函数y=$\frac{k}{x}$的解析式及点N的坐标；
（2）若点P在x轴上，且△OPN的面积与四边形BMON的面积相等，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）作AE⊥x轴于点E，由点的坐标与图形的性质求得点A（2，1），代入反比例函数解析式求得该双曲线方程；由点M的坐标易得点B的坐标，再由此设点N的坐标为（n，$\frac{3}{2}$），代入y=$\frac{2}{x}$求得n的值即可；
（2）S_{四边形BMON}=S_矩形OCBD-S_△OCM-S_△OND=$\frac{5}{2}$．设点P的坐标为（p，0），由“△OPN的面积与四边形BMON的面积相等”可得S_△OPN=$\frac{1}{2}$×|p|×$\frac{3}{2}$=$\frac{5}{2}$，由此求得p的值即可．

解答 解：（1）作AE⊥x轴于点E，
由OA=$\sqrt{5}$，tan∠BOC=$\frac{1}{2}$可得AE=1，OE=2．
∴点A的坐标是（2，1），
∴反比例函数的解析式为y=$\frac{2}{x}$．
由y=$\frac{2}{x}$，CM=$\frac{2}{3}$，
可得点M的坐标为（3，$\frac{2}{3}$）．则OC=3．
又由tan∠BOC=$\frac{1}{2}$，
∴BC=$\frac{3}{2}$，
∴B（3，$\frac{3}{2}$）．
设点N的坐标为（n，$\frac{3}{2}$），代入y=$\frac{2}{x}$，得n=$\frac{4}{3}$，
∴点N的坐标为（$\frac{4}{3}$，$\frac{3}{2}$）；

（2）S_{四边形BMON}=S_矩形OCBD-S_△OCM-S_△OND
=3×$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2}$×$3×\frac{2}{3}$-$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$×$\frac{4}{3}$=$\frac{5}{2}$．
设点P的坐标为（p，0），
由S_△OPN=$\frac{1}{2}$×|p|×$\frac{3}{2}$=$\frac{5}{2}$，得p=$±\frac{10}{3}$，
∴点P的坐标为（$\frac{10}{3}$，0）或（-$\frac{10}{3}$，0）．

点评 本题考查了反比例函数综合题，涉及到了待定系数法求反比例函数解析式，矩形的面积公式，三角形的面积公式，锐角三角函数的定义以及反比例函数图象上点的坐标特征等知识点，综合性比较强，但是难度不是很大．