题目内容
求证：不论a是什么实数，二次函数y=x2+ax+a-2的图象都与x轴相交于两个不同的点，并且求这两点间距离最小时的二次函数的解析式．
考点：抛物线与x轴的交点
专题：
分析：根据函数与方程的关系，求出△的值，若为正数，则此函数图象与x轴总有两个交点；再根据根据二次函数图象与x轴的两个交点的距离公式解答即可．
解答：证明：（1）∵△=a2-4（a-2）=（a-2）2+4，
又∵=（a-2）2≥0，
∴（a-2）2+4＞0，
∴不论a为何实数，此函数图象与x轴总有两个交点；
（2）设x1、x2是y=x2+ax+a-2=0的两个根，则x1+x2=-a，x1•x2=a-2，因两交点的距离是w，
则w=|x1-x2|=（x1+x2）2-4x1•x2
=（-a）2-4（a-2）=（a-2）2+4，
当这两点间距离最小时则a=2，
∴二次函数的解析式y=x2+2x．
又∵=（a-2）2≥0，
∴（a-2）2+4＞0，
∴不论a为何实数，此函数图象与x轴总有两个交点；
（2）设x1、x2是y=x2+ax+a-2=0的两个根，则x1+x2=-a，x1•x2=a-2，因两交点的距离是w，
则w=|x1-x2|=（x1+x2）2-4x1•x2
=（-a）2-4（a-2）=（a-2）2+4，
当这两点间距离最小时则a=2，
∴二次函数的解析式y=x2+2x．
点评：本题考查了抛物线与x轴的交点，熟悉二次函数与一元二次方程的关系和坐标轴上两点距离公式|x1-x2|，并熟练运用是解题的关键．
练习册系列答案
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