题目内容
如图，在梯形AOBC中，AC∥OB，AO⊥OB，OA=4，OB=10，tan∠OBC是方程x2+| 3 | 2 |
一个根，以O为坐标原点，OB、OA所在的直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系．（1）求C点坐标；
（2）求经过O、C、B三点的抛物线解析式；
（3）M是（2）中抛物线上一动点，过M作x轴的平行线交（2）中的抛物线于另一点N（M在N左侧）．问：是否存在点M使得以MN为直径的圆正好与x轴相切？若不存在，请说明理由；若存在，求此圆的半径．
分析：（1）过C点作x轴的垂线，垂足为D，则CD=OA=4，解方程求tan∠OBC，在Rt△BCD中，解直角三角形求BD，OD=OB-BD，可求C点坐标；
（2）根据O、C、B三点的坐标，设交点式求抛物线解析式；
（3）存在，只要满足MN的长的一半等于M点纵坐标的绝对值即可．
（2）根据O、C、B三点的坐标，设交点式求抛物线解析式；
（3）存在，只要满足MN的长的一半等于M点纵坐标的绝对值即可．
解答：
解：（1）过C点作x轴的垂线，垂足为D，
∵AC∥OB，AO⊥OB，
∴CD=OA=4，
解方程x2+
x-1=0得，x1=
，x2=-2（舍去），
∴tan∠OBC=
，
在Rt△BCD中，BD=
=8，
∴OD=OB-BD=10-8=2，
∴C（2，4）；
（2）∵O（0，0），B（10，0），
设抛物线解析式为y=ax（x-10），
将C（2，4）代入，得a×2×（2-10）=4，
解得a=-
，
∴y=-
x（x-10）=-
x2+
x；
（3）存在．
设M点纵坐标为h，M、N的横坐标为x1、x2，
则-
x2+
x=h，即x2-10x+4h=0，
MN=x2-x1=
=
=
，
当h＞0时，
=2h，解得h=-2+
（舍去负值），
当h＜0时，
=-2h，解得h=-2-
（舍去正值），
∴圆的半径为=-2+
或2+
．
解：（1）过C点作x轴的垂线，垂足为D，∵AC∥OB，AO⊥OB，
∴CD=OA=4，
解方程x2+
| 3 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴tan∠OBC=
| 1 |
| 2 |
在Rt△BCD中，BD=
| CD |
| tan∠OBC |
∴OD=OB-BD=10-8=2，
∴C（2，4）；
（2）∵O（0，0），B（10，0），
设抛物线解析式为y=ax（x-10），
将C（2，4）代入，得a×2×（2-10）=4，
解得a=-
| 1 |
| 4 |
∴y=-
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
| 5 |
| 2 |
（3）存在．
设M点纵坐标为h，M、N的横坐标为x1、x2，
则-
| 1 |
| 4 |
| 5 |
| 2 |
MN=x2-x1=
| (x1- x2) 2 |
| (x1+x2) 2-4x1x2 |
| 100-16h |
当h＞0时，
| 100-16h |
| 29 |
当h＜0时，
| 100-16h |
| 29 |
∴圆的半径为=-2+
| 29 |
| 29 |
点评：本题考查了二次函数的综合运用．关键是通过作辅助线，解直角三角形求C点坐标，确定抛物线解析式，再根据直线与圆相切的性质解题．
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