题目内容

如图，在等腰梯形AOBC中，AC∥OB，OA=BC．以O为原点，OB所在直线为x轴建立直角坐

标系xoy，已知已知A（2，2

），B（8，0）．
（1）直接写出点C的坐标，并求出等腰梯形AOBC的面积；
（2）设D为OB的中点，以D为圆心，OB长为直径作⊙D，试判断点A与⊙D的位置关系；
（3）在第一象限内确定点M，使△MOB与△AOB相似，求出所有符合条件的点M的坐标．

分析：（1）根据等腰梯形的性质，可得C（6，2

）；由A、B、C的坐标与梯形面积的求解方法，可求得等腰梯形AOBC的面积；
（2）连接AD，即可证得ACBD是平行四边形，在直角三角形AEO中，由勾股定理可求得AO=4，又由AD=AO=4=

OB，则可得点A在⊙D上；
（3）在第一象限内确定点M，使△MOB与△AOB相似，符合条件的有3个点；①当△OM₁B与△BAO相似时（如图），则有

M1B

．
②当△OM₂B与△OBA相似时，即过B点作OB的垂线交OA的延长线于M₂（如图），则有

M2B

．当△OM₃B与△BOA相似时，即过B点作OB的垂线交OC的延长线于M₃（如图），则有

M3B

．代入数值依次求解即可．

解答：解：（1）C（6，2

）；
过A作AE⊥OB于E．
则由A、B、C的坐标可求得：
AC=4，OB=8，AE=2

．
∴SAOBC=

(AC+OB)•AE=

(4+8)×2

=12

；

（2）连接AD．
∵AC∥OB，即AC∥BD．
又D是圆心，
∴DB=

OB=4=AC．
∴ACBD是平行四边形．
∴AD=CB=AO．
在直角三角形AEO中，由勾股定理可求得AO=4．
∴AD=AO=4=

OB．
∴点A在⊙D上；

（3）∵点A在⊙D上，OB为直径，
∴∠OAB=90°．即△OAB是直角三角形．
故符合题意的点M有以下3种情况：
①当△OM₁B与△BAO相似时（如图），则有

M1B

．
∴M₁B=AO．
∵CB=AO，∴M₁B=CB．
∴点M₁与点C重合．
∴此时点M₁的坐标为（6，2

）；
②当△OM₂B与△OBA相似时，即过B点作OB的垂线交OA的延长线于M₂（如图），
则有

M2B

．
在直角三角形△OAB中，由勾股定理可求得AB=4

．
∴M₂B=8

．
∴此时点M₂的坐标为（8，8

）．
③当△OM₃B与△BOA相似时，即过B点作OB的垂线交OC的延长线于M₃（如图），
则有

M3B

．
∴M₃B=

．
∴此时点M₃的坐标为（8，

）．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，以及在直角坐标系中的综合应用．题目比较难，注意辅助线的作法与数形结合思想的合理应用．

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如图，在等腰梯形OABC中，OC=2，AB=6，∠AOC=120°，以O为圆心OC为半径的⊙O交OA于点D，动点P以每秒1个单位的速度从点A沿AO向点O运动，过点P作PE∥AB交BC于点E．设P点运动的时间为t（秒）．
（1）求OA的长；
（2）当t为何值时，PE与⊙O相切；
（3）直接写出线段PE与⊙O有两个公共点时t的范围．

已知：如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，点E、F分别在线段OB、OC上，AO=OF，AE∥DF．
求证：（1）AO=DO；
（2）四边形AEFD是矩形．

已知：如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，点E、F分别在线段OB、OC上，AO=OF，AE∥DF．求证：（1）AO=DO；（2）四边形AEFD是矩形．

试题分类

已知：如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，点E、F分别在线段OB、OC上，AO=OF，AE∥DF．
求证：（1）AO=DO；
（2）四边形AEFD是矩形．