题目内容

如图，在梯形AOBC中，AC∥OB，AO⊥OB，OA=4，OB=10，tan∠OBC是方程x²+ $数学公式$ x-1=0的一个根，以O为坐标原点，OB、OA所在的直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系．
（1）求C点坐标；
（2）求经过O、C、B三点的抛物线解析式；
（3）M是（2）中抛物线上一动点，过M作x轴的平行线交（2）中的抛物线于另一点N（M在N左侧）．问：是否存在点M使得以MN为直径的圆正好与x轴相切？若不存在，请说明理由；若存在，求此圆的半径．

解：（1）过C点作x轴的垂线，垂足为D，
∵AC∥OB，AO⊥OB，
∴CD=OA=4，
解方程x²+ $\text{[math]}$ x-1=0得，x₁= $\text{[math]}$ ，x₂=-2（舍去），
∴tan∠OBC= $\text{[math]}$ ，
在Rt△BCD中，BD= $\text{[math]}$ =8，
∴OD=OB-BD=10-8=2，
∴C（2，4）；

（2）∵O（0，0），B（10，0），
设抛物线解析式为y=ax（x-10），
将C（2，4）代入，得a×2×（2-10）=4，
解得a=- $\text{[math]}$ ，
∴y=- $\text{[math]}$ x（x-10）=- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x；

（3）存在．
设M点纵坐标为h，M、N的横坐标为x₁、x₂，
则- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x=h，即x²-10x+4h=0，
MN=x₂-x₁= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
当h＞0时， $\text{[math]}$ =2h，解得h=-2+ $\text{[math]}$ （舍去负值），
当h＜0时， $\text{[math]}$ =-2h，解得h=-2- $\text{[math]}$ （舍去正值），
∴圆的半径为=-2+ $\text{[math]}$ 或2+ $\text{[math]}$ ．
分析：（1）过C点作x轴的垂线，垂足为D，则CD=OA=4，解方程求tan∠OBC，在Rt△BCD中，解直角三角形求BD，OD=OB-BD，可求C点坐标；
（2）根据O、C、B三点的坐标，设交点式求抛物线解析式；
（3）存在，只要满足MN的长的一半等于M点纵坐标的绝对值即可．
点评：本题考查了二次函数的综合运用．关键是通过作辅助线，解直角三角形求C点坐标，确定抛物线解析式，再根据直线与圆相切的性质解题．