Question

如图，AB是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线并在其上取一点C，连接OC交⊙O于点D，BD的延长线交AC于E，连接AD．

（1）求证：△CDE∽△CAD；

（2）若AB=2，AC=2，求AE的长．

Answer 1

（1）证明：∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，

∴∠B+∠BAD=90°，

∵AC为⊙O的切线，

∴BA⊥AC，

∴∠BAC=90°，即∠BAD+∠CAD=90°，

∴∠B=∠CAD，

∵OB=OD，

∴∠B=∠ODB，

而∠ODB=∠CDE，

∴∠B=∠CDE，

∴∠CAD=∠CDE，

而∠ECD=∠DCA，

∴△CDE∽△CAD；

（2）解：∵AB=2，

∴OA=1，

在Rt△AOC中，AC=2，

∴OC==3，

∴CD=OC﹣OD=3﹣1=2，

∵△CDE∽△CAD，

∴=，即=，

∴CE=．

∴AE=AC﹣CE=2﹣=．