Question

4．已知点A（-2，0），B为直线x=-1上一个动点，P为直线AB与双曲线y=$\frac{1}{x}$的交点，且AP=2AB，则满足条件的点P的个数是（　　）

• A． 0个
• B． 1个
• C． 2个
• D． 3个

Answer 1

分析 如图，设P（m，$\frac{1}{m}$），B（-1，n），直线x=-1与x轴交于C，有A（-2，0），得到OA=2，OC=1，AC=1，BC∥y轴，推出$\frac{AB}{AP}=\frac{AC}{AO}=\frac{1}{2}$，于是得到这样的点P不存在，点P₄在AB之间，不满足AP=2AB，过P₂作P₂Q⊥x轴于Q，求得满足条件的点P（-4，-$\frac{1}{4}$），于是得到满足条件的点P的个数是1，

解答 解：如图，设P（m，$\frac{1}{m}$），B（-1，n），直线x=-1与x轴交于C，
∵A（-2，0），
∴OA=2，OC=1，
∴AC=1，BC∥y轴，
∴$\frac{AB}{AP}=\frac{AC}{AO}=\frac{1}{2}$，
∴P₁，P₃在y轴上，
这样的点P不存在，
点P₄在AB之间，不满足AP=2AB，
过P₂作P₂Q⊥x轴于Q，
∴P₂Q∥B₁C，
∴$\frac{A{B}_{1}}{A{P}_{2}}=\frac{AC}{AQ}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1}{-m-2}$=$\frac{1}{2}$，
∴m=-4，
∴P（-4，-$\frac{1}{4}$），
∴满足条件的点P的个数是1，
故选B．

点评 本题考查了一次函数与反比例函数的焦点问题，平行线分线段成比例，注意数形结合思想的应用．