Question

4．已知关于x的一元二次方程kx²-（4k+1）x+3k+3=0（k是整数）．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若方程有两个实根分别是x₁，x₂（其中x₁＜x₂）．
①用含k的式子表示x₁和x₂；
②设m=x₂-x₁-2，求mk的值．

Answer 1

分析 （1）只要证明△$＞\\;0$即可．
（2）①利用因式分解法解方程即可解决问题．
②根据m=x₂-x₁-2列出方程，即可解决问题．

解答 解：（1）∵△=16k²+8k+1-4k（3k+3）=4k²-4k+1=（2k-1）²，
∵k是整数，
∴△＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
（2）①∵kx²-（4k+1）x+3k+3=0，
∴（x-3）（kx-k-1）=0，
∴x=3或$\frac{k+1}{k}$，
∵x₁＜x₂，
∴x₁=$\frac{k+1}{k}$，x₂=3，
②由题意m=3-$\frac{k+1}{k}$-2，
∴mk=3k-k-1-2k，
∴mk=-1．

点评 本题考查根与系数关系、根的判别式等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会利用因式分解法解方程，属于中考常考题型．