Question

如图，AB是⊙O的直径，∠BAC=60°，P是OB上一点，过P作AB的垂线与AC的延长线交于点Q，D是PQ上一点，且DC=DQ．
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）如果CD=AB，求BP：PO的值．

Answer 1

（1）证明：连接OC；
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠A，
∵CD=DQ，
∴∠DCQ=∠Q，
∴∠OCA+∠DCQ=∠A+∠Q=90°，
∴∠OCD=90°，
∴CD是⊙O的切线；

（2）解：过点D作DH⊥CQ于点H，
设⊙O的半径为r，则AB=2r，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠BAC=60°，
∴AC=AB•cos60°=r，BC=AB•sin60°=r，
∴∠Q=90°-∠BAC=30°，
∵DQ=CD=AB=r，
∴CH=QH=DQ•cos30°=r，
∴AQ=AC+CQ=（1+）r，
∴AP=AQ=r，
∴OP=AP-OA=r，BP=AB-AP=r，
∴BP：PO=（或 ）．
分析：（1）首先连接OC，由OA=OC，DC=DQ，根据等腰三角形的性质，易求得∠OCA+∠DCQ=∠A+∠Q=90°，即可得∠OCD=90°，则可证得DC是⊙O的切线；
（2）首先过点D作DH⊥CQ于点H，设⊙O的半径为r，则AB=2r，根据三角函数的性质，易求得AP=AQ=r，继而求得BP与OP的长，继而求得答案．
点评：此题考查了切线的判定、等腰三角形的性质以及三角函数的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．