Question

8．如图，AB是⊙O的直径，点P是弦AC上一动点（不与A，C重合），过点P作PE⊥AB，垂足为E，射线EP交$\widehat{AC}$于点F，交过点C的切线于点D．
（1）求证：DC=DP；
（2）若∠CAB=30°，当F是$\widehat{AC}$的中点时，判断以A，O，C，F为顶点的四边形是什么特殊四边形？说明理由．

Answer 1

分析 （1）连接OC，根据切线的性质和PE⊥OE以及∠OAC=∠OCA得∠APE=∠DPC，然后结合对顶角的性质可证得结论；
（2）由∠CAB=30°易得△OBC为等边三角形，可得∠AOC=120°，由F是$\widehat{AC}$的中点，易得△AOF与△COF均为等边三角形，可得AF=AO=OC=CF，易得以A，O，C，F为顶点的四边形是菱形．

解答 （1）证明：连接OC，
∵∠OAC=∠ACO，PE⊥OE，OC⊥CD，
∴∠APE=∠PCD，
∵∠APE=∠DPC，
∴∠DPC=∠PCD，
∴DC=DP；

（2）解：以A，O，C，F为顶点的四边形是菱形；
∵∠CAB=30°，∴∠B=60°，
∴△OBC为等边三角形，
∴∠AOC=120°，
连接OF，AF，
∵F是$\widehat{AC}$的中点，
∴∠AOF=∠COF=60°，
∴△AOF与△COF均为等边三角形，
∴AF=AO=OC=CF，
∴四边形OACF为菱形．

点评 本题主要考查了切线的性质、圆周角定理和等边三角形的判定等，作出恰当的辅助线利用切线的性质是解答此题的关键．