Question

6．如图，在这个漂亮的螺旋图中，所有的三角形都是直角三角形，按此方式继续画下去：根据图中所标数据．
（1）填空：a₄=$\sqrt{5}$，a_n=$\sqrt{n+1}$；
（2）记△OAA₁的面积为S₁，△OA₁A₂的面积为S₂，…△OA_n-1A_n的面积为S_n．求出S₁和S_n．

Answer 1

分析 （1）由勾股定理求出a₁=$\sqrt{2}$，a₂=$\sqrt{3}$，…，得出规律，即可得出a₄=$\sqrt{5}$，a_n=$\sqrt{n+1}$；
（2）由三角形的面积公式求出S₁=$\frac{1}{2}$，S₂=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，…，得出规律S_n=$\frac{\sqrt{n}}{2}$即可．

解答 解：（1）由勾股定理得：
a₁=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{1}}$=$\sqrt{2}$，a₂=$\sqrt{{1}^{2}+（\sqrt{2}）^{2}}$=$\sqrt{3}$，…，
a₄=$\sqrt{5}$，a_n=$\sqrt{n+1}$；
故答案为：$\sqrt{5}$，$\sqrt{n+1}$；
（2）解：根据题意得：S₁=$\frac{1}{2}$×1×1=$\frac{1}{2}$，S₂=$\frac{1}{2}$×1×$\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，…，
∴S_n=$\frac{\sqrt{n}}{2}$．

点评 本题考查了勾股定理、三角形面积的计算方法；熟练掌握勾股定理，通过计算得出规律是解决问题的关键．