Question

15．已知，某一次函数与反比例函数相交于A（1，3），B（m，1），求：
（1）m的值与一次函数的解析式；
（2）△ABO的面积．

Answer 1

分析 （1）设一次函数与反比例函数的解析式分别为y=ax+b（k≠0），y=$\frac{k}{m}$（k≠0），将A坐标代入反比例解析式中求出k的值，确定出反比例解析式，再将B坐标代入反比例解析式中求出m的值，确定出B坐标，将A与B坐标代入一次函数解析式中求出a与b的值，即可确定出一次函数解析式；
（2）设一次函数与x轴交于C点，求出C坐标，三角形AOB的面积=三角形AOC-三角形BOC的面积，求出即可．

解答 解：（1）设一次函数与反比例函数的解析式分别为y=ax+b（k≠0），y=$\frac{k}{m}$（k≠0），
∵反比例函数y=$\frac{k}{m}$（k≠0）的图象经过点A（1，3），
∴k=1×3=3，
∴反比例函数的解析式为y=$\frac{3}{x}$，
∵点B（m，1）在反比例函数的图象上，
∴1=$\frac{3}{m}$
∴m=3，
∴点B的坐标为（3，1），
∵一次函数的图象经过点A，B，
将这两个点的坐标代入y=kx+b，得$\left\{\begin{array}{l}{3=a+b}\\{1=3a+b}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=4}\end{array}\right.$，
则所求一次函数的解析式为y=-x+4；

（2）设一次函数y=-x+4的图象交x轴于点C，
∴C点坐标为（4，0），即OC=4，
∵A点的纵坐标为3，B点的纵坐标为1，
∴S_△AOB=S_△AOC-S_△BOC=$\frac{1}{2}$OC•3-$\frac{1}{2}$OC•1=$\frac{1}{2}$×4×2=4．

点评 此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，一次函数与x轴的交点，坐标与图形性质，以及三角形的面积求法，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．