Question

【题目】如图，在中，，，以为直径作交于点，是的中点，连接．点在上，连接并延长交的延长线于点．

（1）求证：是的切线；

（2）连接，求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）连接OD，AD．根据圆周角定理得到∠ADB=90°，求得∠ADC=90°，根据线段中点的定义得到DE=AE，求得∠EAD=∠EDA，根据等腰三角形的性质得到∠OAD=∠ODA，推出OD⊥DE，于是得到结论；

（2）过点F作FH⊥AB于点H，连接OF，得到∠AHF=90°．根据余角的想性质得到∠G=∠BAF，根据相似三角形的性质得到，由垂线段最短可得FH≤OF，当且仅当点H，O重合时等号成立．于是得到结论．

（1）证明：连接，．

∵为直径，点在上，

∴，

∴．

∵是的中点，

∴，

∴．

∵，

∴．

∵，

∴，

即，

∴．

∵是半径的外端点，

∴是的切线．

（2）过点作于点，连接，

∴．

∵为直径，点在上，

∴，

∴．

∵，

∴，

∴．

又，

∴，

∴．

由垂线段最短可得，

当且仅当点，重合时等号成立．

∵，

∴上存在点使得，此时点，重合，

∴，

即的最大值为．