Question

【题目】将一个矩形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点E，F分别在边，上．沿着折叠该纸片，使得点A落在边上，对应点为，如图①．再沿折叠，这时点E恰好与点C重合，如图②．

（Ⅰ）求点C的坐标；

（Ⅱ）将该矩形纸片展开，再折叠该矩形纸片，使点O与点F重合，折痕与相交于点P，展开矩形纸片，如图③．

①求的大小；

②点M，N分别为，上的动点，当取得最小值时，求点N的坐标（直接写出结果即可）．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）①，②

【解析】

（Ⅰ）由翻折的性质可知，，，再由正方形的性质和勾股定理可得OE，继而即可求解；

（Ⅱ）①连接，由题意和（Ⅰ）可知，而，，由等角对等边可知，，设，则，然后根据翻折的性质可知即，把x代入列出方程，解方程求出，根据相似三角形的判定可证, ，再根据相似三角形的对应角相等和三角形内角和即可求解；

②利用角平分线上的点到角两边的距离相等这一性质可判断M、N的位置，进而根据题意即可求解．

解：（Ⅰ）∵点，∴．

由两次折叠可知，，．

∴是正方形．∴．

在中，．

∴点C的坐标为．

（Ⅱ）①如图③，连接，由和（Ⅰ）可知，

，而，

，

故，．

设，则，

由即，

得，解得．

所以．则有．

得．又，则，

即．

②如图④所示，过点P作⊥OC于点，交OF于点M，作关于OF的对称点N，连接MN，此时取得最小值时，且，

过点N作NG⊥x轴于点G，

∵由（Ⅱ）知，∠AOE＝45°,

∴∠NOG＝90°－45°＝45°

∴OG＝NG＝．

∴．