Question

1．如图，在平面直角坐标系中，点A和点C分别在x轴和y轴的正半轴上，OA=6，OC=4，以OA、OC为边作矩形OABC，动点M、N分别以每秒1个单位长度的速度从点A、C同时出发，其中点M沿AO向终点O运动，点N沿CB向终点B运动，当两个动点运动了t秒，过点N作NP⊥BC，交OB于点P，连接MP．
（1）直接写出点B的坐标为（6，4），直线OB的函数解析式为y=$\frac{2}{3}$x；
（2）记△OMP的面积为S，求S与t的函数关系式（0＜t＜6），并求当t为何值时，S有最大值；
（3）试探究，当S有最大值时，在直线ON上是否存在点E，使△EMN为等腰三角形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由OA=6，AB=4，易得点B的坐标为（6，4）；由图可得，点P的横坐标=CN=t，纵坐标=4-NP，NP的值可根据相似比求得；
（2）由（1）的结论易得△OMP的高为$\frac{2}{3}$t，而OM=6-AM=6-t，再根据三角形的面积公式即可求得S与t的函数关系式，再由二次函数的最值求法，求得t为何值时，S有最大值；
（3）由（2）求得点M、N的坐标，从而求得直线ON的函数关系式；然后分两种情况考虑：①当EN=EM时，②当EN=EM时，③当ME=MN时，从而求得符合条件的点E的坐标．

解答 解：（1）延长NP交OA于H，
∵四边形OABC是矩形，
∴BC∥OA，∠OCB=90°，
∵PN⊥BC，
∴NH∥OC，
∴四边形CNHO是平行四边形，
∴OH=CN，
∵OA=6，AB=4，
∴点B的坐标为（6，4）；
设直线OB的解析式为y=kx，
∴4=6k，解得k=$\frac{2}{3}$，
∴直线OB的函数解析式为y=$\frac{2}{3}$x．
故答案为（6，4）、y=$\frac{2}{3}$x．

（2）由图可得，点P的横坐标=0H=CN=t，纵坐标=4-NP，
∵NP⊥BC，
∴NP∥OC，
∴NP：OC=BN：CB，
即NP：4=（6-t）：6，
∴NP=4-$\frac{2}{3}$t，
∴点P的纵坐标=4-NP=$\frac{2}{3}$t，
则点P的坐标为（t，$\frac{2}{3}$t）；
∴S_△OMP=$\frac{1}{2}$×OM×$\frac{2}{3}$t，
∴S=$\frac{1}{2}$×（6-t）×$\frac{2}{3}$t=-$\frac{1}{3}$t²+2t．
=-$\frac{1}{3}$（t-3）²+3（0＜t＜6）．
∴当t=3时，S有最大值．

（3）存在．
由（2）得：当S有最大值时，点M、N的坐标分别为：M（3，0），N（3，4），
则直线ON的函数关系式为：y=$\frac{4}{3}$x．
当EN=EM时，则∠ENM=∠EMN，
∵MN⊥OA，
∴∠EOM=∠EMO，
∴OE=NE，
∴E是ON的中点，
∴E₁（$\frac{3}{2}$，2）；
当EN=EM时，∵MN=4，OM=3
∴EN=4，ON=5，
∴OE=5-4=1或OE=5+4=9，
设E（m，$\frac{4}{3}$m），
∴OE=$\sqrt{{m}^{2}+（\frac{4}{3}m）^{2}}$=1，解得m₁=$\frac{3}{5}$，m₂=-$\frac{3}{5}$（舍去），
OE=$\sqrt{{m}^{2}+（\frac{4}{3}m）^{2}}$=9，解得m₃=$\frac{27}{5}$，m₄=-$\frac{27}{5}$（舍去），
∴E₂（$\frac{3}{5}$，$\frac{4}{5}$），E₃（$\frac{27}{5}$，$\frac{36}{5}$）．
当ME=MN时，∵M（3，0），E（m，$\frac{4}{3}$m），
∴ME=$\sqrt{（m-3）^{2}+（\frac{4}{3}m）^{2}}$=4，解得m₅=-$\frac{21}{25}$，m₅=3（舍去），
∴E₄（-$\frac{21}{25}$，-$\frac{28}{25}$），
综上所述，当S有最大值时，在直线ON上存在点E，使△EMN为等腰三角形，此时E的坐标为（$\frac{3}{2}$，2）或（$\frac{3}{5}$，$\frac{4}{5}$）或（$\frac{27}{5}$，$\frac{36}{5}$）或（-$\frac{21}{25}$，-$\frac{28}{25}$）．

点评 此题是一次函数的综合题，考查了点的坐标、待定系数法求解析式、等腰三角形的判定和性质、三角形的面积公式的应用、二次函数的最值、一次函数的应用等知识点．熟练掌握函数的特征和性质是解题的关键．