Question

【题目】在正方形中，连接，为射线上的一个动点（与点不重合），连接，的垂直平分线交线段于点，连接，.

提出问题：当点运动时，的度数是否发生改变？

探究问题：

（1）首先考察点的两个特殊位置：

①当点与点重合时，如图1所示，____________

②当时，如图2所示，①中的结论是否发生变化？直接写出你的结论：__________；（填“变化”或“不变化”）

（2）然后考察点的一般位置：依题意补全图3，图4，通过观察、测量，发现：（1）中①的结论在一般情况下_________；（填“成立”或“不成立”）

（3）证明猜想：若（1）中①的结论在一般情况下成立，请从图3和图4中任选一个进行证明；若不成立，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）①45；②不变化；（2）成立；（3）详见解析.

【解析】

（1）①②根据正方形的性质、线段的垂直平分线的性质即可判断；

（2）画出图形即可判断，结论仍然成立；

（3）如图2-1中或2-2中，作作EF⊥BC，EG⊥AB，证 得∠AEG=∠PEF.由∠ABC=∠EFB=∠EGB=90°知∠GEF=∠GEP+∠PEF=90°.继而得∠AEP=∠AEG+∠GEP=∠PEF+∠GEP=90°.从而得出∠APE=∠EAP=45°.

解（1）①当点P与点B重合时，如图1-1所示：

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠APE=45°

②当BP=BC时，如图1-2所示，①中的结论不发生变化；

故答案为：45°，不变化.

(2) （2）如图2-1，如图2-2中，结论仍然成立；

故答案为：成立；

(3)证明一：如图所示.

过点作于点，于点.

∵点在的垂直平分线上，

∴.

∵四边形为正方形，

∴平分.

∴.

∴.

∴.

∵，

∴.

∴.

∴.

证明二：如图所示.

过点作于点，延长交于点，连接.

∵点在的垂直平分线上，

∴.

∵四边形为正方形，

∴，

∴.

∴，.

∴.

又∵，

∴.

又∵，

∴.

∴.