如图.为了测量某建筑物BC的高度.小明先在地面上用测角仪A处测得建筑物顶部的仰角是30°.然后在水平地面上向建筑物前进了20m到达D处.此时遇到一斜坡.坡度i=1:$\sqrt{3}$.沿着斜坡前进40m到达F处测得建筑物顶部的仰角是45°.(坡度i=1:$\sqrt{3}$是指坡面的铅直高度FE与水平宽度DE的比)．(1)求斜坡DF的端点F到水平地面AB的距离� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

4．

如图，为了测量某建筑物BC的高度，小明先在地面上用测角仪A处测得建筑物顶部的仰角是30°，然后在水平地面上向建筑物前进了20m到达D处，此时遇到一斜坡，坡度i=1：$\sqrt{3}$，沿着斜坡前进40m到达F处测得建筑物顶部的仰角是45°，（坡度i=1：$\sqrt{3}$是指坡面的铅直高度FE与水平宽度DE的比）．
（1）求斜坡DF的端点F到水平地面AB的距离和斜坡的水平宽度DE分别为多少米？
（2）求建筑物BC的高度为多少米？
（3）现小亮在建筑物一楼（水平地面上点B处）乘电梯至楼顶（点C），电梯速度为2（$\sqrt{3}$+3）m/s，同时小明从测角仪处（点A）出发，骑摩托车至斜坡的端点F处，已知，小明在平地上的车速是上坡车速的两倍，小亮所用时间是小明所用时间的一半，求小明上坡时的车速为多少？

分析（1）在Rt在Rt△DEF中，DF=40（m），EF：DF=1：$\sqrt{3}$，推出tan∠EDF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，可得∠EDF=30°，由此即可解决问题；
（2）设CG=GF=x，在Rt△ABC中，由AB=$\sqrt{3}$BC，可得20+20$\sqrt{3}$+x=$\sqrt{3}$（x+20），解方程即可；
（3）设小明上坡时的车速为ym/s．构建方程即可解决问题；

解答解：（1）在Rt△DEF中，DF=40（m），EF：DF=1：$\sqrt{3}$，
∴tan∠EDF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠EDF=30°，
∴EF=$\frac{1}{2}$DF=20（m），DE=$\sqrt{3}$EF=20$\sqrt{3}$（m），
∴斜坡DF的端点F到水平地面AB的距离为20m，斜坡的水平宽度DE为20$\sqrt{3}$米．

（2）在Rt△CGF中，∵∠CFG=45°，
∴GC=GF，设CG=GF=x，
在Rt△ABC中，∵AB=$\sqrt{3}$BC，
∴20+20$\sqrt{3}$+x=$\sqrt{3}$（x+20），
∴x=10+10$\sqrt{3}$，
∴BC=CG+BG=30+10$\sqrt{3}$．

（3）设小明上坡时的车速为ym/s．
由题意$\frac{30+10\sqrt{3}}{2（\sqrt{3}+3）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{20}{2Y}$+$\frac{40}{y}$），
解得y=5，
经检验，y=5是方程的解，且符合题意，
∴小明上坡时的车速为5m/s．