题目内容
如图①，P为△ABC内一点，连接PA，PB，PC，在△PAB，△PBC和△PAC中，如果存在一个三角形与△ABC相似，那么就称P为△ABC的自相似点．
已知△ABC中，∠A＜∠B＜∠C
（1）利用直尺和圆规，在图②中作出△ABC的自相似点P（不写作法，但需保留作图痕迹）；
（2）若△ABC的三内角平分线的交点P是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数．
【答案】
(1)①作图
作法如下：（i）在∠ABC内，作∠CBD＝∠A；
（ii）在∠ACB内，作∠BCE＝∠ABC；BD交CE于点P．
则P为△ABC的自相似点．
②连接PB,PC．∵P为△ABC的内心，∴
，
．
P为△ABC的自相似点，由条件可知，只能是△BCP∽△ABC．
∴∠PBC＝∠BAC，∠BCP＝∠ABC=2∠PBC =2∠BAC，
∠ACB＝2∠BCP=4∠BAC．∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°．
∴∠BAC+2∠BAC+4∠BAC＝180°,∴
．
∴该三角形三个内角的度数分别为
，
，
．
【解析】（1）根据题中的信息，做出△ABC的自相似点P；
（2）由自相似点的含义可知△BCP∽△ABC，得出各角之间的关系。
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