题目内容
【题目】综合与实践
在数学活动课上，老师出示了这样一个问题：如图1，在
中，
，
，
，点
为
边上的任意一点．将
沿过点的直线折叠，使点
落在斜边
上的点
处．问是否存在
是直角三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求出此时
的长度．
探究展示：勤奋小组很快找到了点、的位置．
如图2，作
的角平分线交于点，此时沿
所在的直线折叠，点恰好在上，且
，所以是直角三角形．
问题解决:
（1）按勤奋小组的这种折叠方式，的长度为 ．
（2/span>）创新小组看完勤奋小组的折叠方法后，发现还有另一种折叠方法，请在图3中画出来．
（3）在（2）的条件下，求出的长．
【答案】（1）3；（2）见解析；（3）
【解析】
（1）由勾股定理可求AB的长，由折叠的性质可得AC=AE=6，CD=DE，∠C=∠BED=90°，由勾股定理可求解；
（2）如图所示，当DE∥AC，∠EDB=∠ACB=90°，即可得到答案；
（3）由折叠的性质可得CF=EF，CD=DE，∠C=∠FED=90°，∠CDF=∠EDF=45°，可得DE=CD=CF=EF，通过证明△DEB∽△CAB，可得
，即可求解．
（1）∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8，
∴
，
由折叠的性质可得：△ACD≌△AED，
∴AC=AE=6，CD=DE，∠C=∠BED=90°，
∴BE=10-6=4，
∵BD2=DE2+BE2，
∴（8-CD）2=CD2+16，
∴CD=3，
故答案为：3；
（2）如图3，当DE∥AC，△BDE是直角三角形，
（3）∵DE∥AC，
∴∠ACB=∠BDE=90°，
由折叠的性质可得：△CDF≌△EDF，
∴CF=EF，CD=DE，∠C=∠FED=90°，∠CDF=∠EDF=45°，
∴EF=DE，
∴DE=CD=CF=EF，
∵DE∥AC，
∴△DEB∽△CAB，
∴，
∴
，
∴DE=
，
∴
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