Question

【题目】已知：如图（1），射线AM∥射线BN，AB是它们的公垂线，点D、C分别在AM、BN上运动（点D与点A不重合、点C与点B不重合），E是AB边上的动点（点E与A、B不重合），在运动过程中始终保持DE⊥EC．

（1）求证：△ADE∽△BEC；

（2）如图（2），当点E为AB边的中点时，求证：AD+BC=CD；

（3）当 AD+DE=AB=时．设AE=m，请探究：△BEC的周长是否与m值有关？若有关，请用含有m的代数式表示△BEC的周长；若无关，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）的周长与m值无关，理由详见解析．

【解析】

（1）由直角梯形ABCD中∠A为直角，得到三角形ADE为直角三角形，可得出两锐角互余，再由DE与EC垂直，利用垂直的定义得到∠DEC为直角，利用平角的定义推出一对角互余，利用同角的余角相等可得出一对角相等，再由一对直角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似可得证；

（2）延长DE、CB交于F，证明△ADE≌△BFE，根据全等三角形的性质得到DE=FE，AD=BF由CE⊥DE，得到直线CE是线段DF的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质得DC=FC．即可得到结论；

（3）△BEC的周长与m的值无关，理由为：设AD=x，由AD+DE=a，表示出DE．在直角三角形ADE中，利用勾股定理列出关系式，整理后记作①，由AB﹣AE=EB，表示出BE，根据（1）得到：△ADE∽△BEC，由相似得比例，将各自表示出的式子代入，表示出BC与EC，由EB+EC+BC表示出三角形EBC的周长，提取a﹣m后，通分并利用同分母分式的加法法则计算，再利用平方差公式化简后，记作②，将①代入②，约分后得到一个不含m的式子，即周长与m无关．

（1）∵直角梯形ABCD中，∠A=90°，

∴∠ADE+∠AED=90°，

又∵DE⊥CE，

∴∠DEC=90°，

∴∠AED+∠BEC=90°，

∴∠ADE=∠BEC，

又∵∠A=∠B=90°，

∴△ADE∽△BEC；

（2）延长DE、CB交于F，如图2所示．

∵AD∥BC，

∴∠A=∠EBF，∠ADE=∠F．

∵E是AB的中点，

∴AE=BE．

在△ADE和△BFE中，∵∠A=∠EBF，∠ADE=∠F，AE=BE，

∴△ADE≌△BFE，

∴DE=FE，AD=BF．

∵CE⊥DE，

∴直线CE是线段DF的垂直平分线，

∴DC=FC．

∵FC=BC+BF=BC+AD，

∴AD+BC=CD．

（3）△BEC的周长与m的值无关，理由为：

设AD=x，由AD+DE=AB=a，得：DE=a﹣x．

在Rt△AED中，根据勾股定理得：AD2+AE2=DE2，即x2+m2=(a﹣x)2，

整理得：a2﹣m2=2ax，…①

在△EBC中，由AE=m，AB=a，得：BE=AB﹣AE=a﹣m．

∵由（1）知△ADE∽△BEC，

∴，即，

解得：BC，EC，

∴△BEC的周长=BE+BC+EC=(a﹣m)

=(a﹣m)(1)=(a﹣m)

，…②

把①代入②得：△BEC的周长=BE+BC+EC2a，

则△BEC的周长与m无关．