Question

【题目】 如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，OA=1，OC=4，抛物线y=x2+bx+c经过A，B两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点E是直角△ABC斜边AB上一动点（点A、B除外），过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E、F的坐标；

（3）在（2）的条件下：在抛物线上是否存在一点P，使△EFP是以EF为直角边的直角三角形？若存在，请求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣2x﹣3；（2）点E（，），F（，）；（3）存在，P1（，），P2（，），P3（，）．

【解析】

（1）根据AC=BC，求出BC的长，进而得到点A，B的坐标，利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；
（2）利用待定系数法求出直线AB的解析式，用含m的式表示出E，F的坐标，求出EF的长度最大时m的值，即可求得E，F的坐标；
（3）分两种情况：∠E-90°和∠F=90°，分别得到点P的纵坐标，将纵坐标代入抛物线解析式，即可求得点P的值．

解：（1）∵OA=1，OC=4，AC=BC，

∴BC=5，

∴A（﹣1，0），B（4，5），

抛物线y=x2+bx+c经过A，B两点，

∴，解得：，

∴y=x2﹣2x﹣3；

（2）设直线AB解析式为：y=kx+b，

直线经过点A，B两点，

∴，解得：，

∴直线AB的解析式为：y=x+1，

设点E的坐标为（m，m+1），则点F（m，m2﹣2m﹣3），

∴EF=m+1﹣m2+2m+3=﹣m2+3m+4=﹣（m﹣）2+，

∴当EF最大时，m=，

∴点E（，），F（，）；

（3）存在．

①当∠FEP=90°时，点P的纵坐标为，

即x2﹣2x﹣3=，解得：x1=，x2=，

∴点P1（，），P2（，），

②当∠EFP=90°时，点P的纵坐标为，

即x2﹣2x﹣3=，解得：x1=，x2=（舍去），

∴点P3（，），

综上所述，P1（，），P2（，），P3（，）．