Question

1．已知：如图，BE，CF是△ABC的高，且BP=AC，CQ=AB．
（1）求证：∠Q=∠2；
（2）求证：AP⊥AQ．

Answer 1

分析 （1）由△ACQ≌△PBA，（SAS）推出AP=AQ，∠Q=∠BAP，由∠Q+∠QAB=90°，推出∠BAP+∠QAB=90°，推出AP⊥AQ，再利用等角的余角相等即可证明；
（2）见（1）中证明；

解答 解：（1）∵CF、BE是△ABC的高，
∴∠ABE+∠BAE=90°，∠ACQ+∠BAE=90°，
∴∠ABE=∠ACQ，
∵在△ACQ和△PBA中，
$\left\{\begin{array}{l}{BP=AC}\\{∠ABE=∠ACQ}\\{CQ=AB}\end{array}\right.$，
∴△ACQ≌△PBA，（SAS）
∴AP=AQ，∠Q=∠BAP，
∵∠Q+∠QAB=90°，
∴∠BAP+∠QAB=90°，
∴AP⊥AQ，
∴∠2+∠APF=90°，∠Q+∠APF=90°，
∴∠Q=∠2．

（2）见（1）中证明．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等角的余角相等等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．