Question

17．如图是“分数三角形”数表，记第i行从左往右数第j个数为a_i，j（其中i、j均为正整数且j≤i），如a_5，2=$\frac{1}{20}$，a_7，6=$\frac{1}{42}$；请认真观察此数表的规律并完成下列作答．
（1）第10行的第一个数为$\frac{1}{10}$，第10行的第二个数为$\frac{1}{90}$；
（2）我发现了此数表有以下规律：
①第i行的第一个数与最后一个数均为$\frac{1}{i}$（用字母i来表示）；
②请仔细观察每行相邻两个数与它们头顶上的那个数的关系，并完成下面填空：a_i，2+a_i，3=a_{（i-1），2}（其中i为正整数且i≥3）；
（3）请利用第（2）问②的规律计算：$\frac{1}{3}+\frac{1}{12}+\frac{1}{30}+\frac{1}{60}+\frac{1}{105}$．（请给出运算过程）

Answer 1

分析 （1）根据数表的规律，即可得出第10行的第一个数以及第二个数；
（2）①根据数表的规律，即可得出第i行的第一个数与最后一个数；
②根据每行相邻两个数的和等于它们头顶上的那个数，即可得到a_i，2+a_i，3=a_{（i-1），2}；
（3）利用第（2）问②的规律进行计算，即可得到计算结果．

解答 解：（1）根据每一行的第一个数的分母与行数相同，可得第10行的第一个数为$\frac{1}{10}$；
根据每一行的第二个数的分母是第一个数的分母与前一行的第一个数的分母的乘积，可得第10行的第二个数为$\frac{1}{90}$；
故答案为：$\frac{1}{10}$，$\frac{1}{90}$；

（2）①由数表可知，第i行的第一个数与最后一个数均为$\frac{1}{i}$；
②根据数表可得，每行相邻两个数的和等于它们头顶上的那个数，故a_i，2+a_i，3=a_{（i-1），2}；
故答案为：$\frac{1}{i}$，a_{（i-1），2}；

（3）$\frac{1}{3}+\frac{1}{12}+\frac{1}{30}+\frac{1}{60}+\frac{1}{105}$
=$（\frac{1}{2}-\frac{1}{6}）+（\frac{1}{6}-\frac{1}{12}）+（\frac{1}{12}-\frac{1}{20}）+（\frac{1}{20}-\frac{1}{30}）+（\frac{1}{30}-\frac{1}{42}）$
=$\frac{1}{2}-\frac{1}{42}$
=$\frac{10}{21}$．

点评 本题主要考查了数字变化类问题，发现规律，运用规律是解答此题的关键．认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法．