Question

【题目】如图，BD为⊙O的直径，点A是弧BC的中点，AD交BC于E点，AE=2，ED=4．

（1）求证：△ABE∽△ADB；
（2）求tan∠ADB的值；
（3）延长BC至F，连接FD，使△BDF的面积等于8 ，求证：DF与⊙O相切．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵A是 的中点，

∴ ，

∴∠BDA=∠ABE，

∵∠BAE=∠BAE，

∴△ABE∽△ADB

（2）解：由（1）可知： = ，

∴AB2=AEAD，

∵AE=2，ED=4．

∴AB=2 ，

∵BD是⊙O的直径，

∴∠BAD=90°，

∴tan∠ADB= = =

（3）解：连接CD，

∵AB=2 ，AD=6，

∴由勾股定理可知：BD=4 ，

由（2）可知：tan∠ADB=

∴∠ADB=30°，

∴∠ABE=∠ADB=30°，

∴∠DBC=30°，

∵BD是⊙O的直径，

∴∠BCD=90°，

∴sin∠DBC= ，

∴CD=2 ，

由勾股定理可知：BC=6，

∴S△BDC= BCCD=6 ，

∴S△CDF=S△BDF﹣S△BDC=2 ，

∵S△CDF= CFCD，

∴CF=2，

∴tan∠F= = ，

∴∠F=60°，

∴∠BDF=90°，

∴DF与⊙O相切．

【解析】（1）由等弧所对的圆周角相等即可证得;（2）利用第（1）的结论求出AB，根据正切 定义可求出；（3）要证相切，须证∠BDF=90°，须连接直径，即连CD，利用（2）∠ADB=30°，则证出∠F=60°即可.