题目内容
【题目】如图，抛物线y=ax2+2x﹣3与x轴交于A、B两点，且B（1，0）
（1）求抛物线的解析式和点A的坐标；
（2）如图1，点P是直线y=x上的动点，当直线y=x平分∠APB时，求点P的坐标；
（3）如图2，已知直线y= 
x﹣ 
分别与x轴、y轴交于C、F两点，点Q是直线CF下方的抛物线上的一个动点，过点Q作y轴的平行线，交直线CF于点D，点E在线段CD的延长线上，连接QE．问：以QD为腰的等腰△QDE的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】
（1）解：把B（1，0）代入y=ax2+2x﹣3，
可得a+2﹣3=0，解得a=1，
∴抛物线解析式为y=x2+2x﹣3，
令y=0，可得x2+2x﹣3=0，解得x=1或x=﹣3，
∴A点坐标为（﹣3，0）
（2）解：若y=x平分∠APB，则∠APO=∠BPO，
如图1，若P点在x轴上方，PA与y轴交于点B′，
由于点P在直线y=x上，可知∠POB=∠POB′=45°，
在△BPO和△B′PO中
，
∴△BPO≌△B′PO（ASA），
∴BO=B′O=1，
设直线AP解析式为y=kx+b，把A、B′两点坐标代入可得
，解得 
，
∴直线AP解析式为y= 
x+1，
联立 
，解得 
，
∴P点坐标为（ 
， ）；
若P点在x轴下方时，同理可得△BOP≌△B′OP，
∴∠BPO=∠B′PO，
又∠B′PO在∠APO的内部，
∴∠APO≠∠BPO，即此时没有满足条件的P点，
综上可知P点坐标为（ ， ）
（3）解：如图2，作QH⊥CF，交CF于点H，
∵CF为y= 
x﹣ 
，
∴可求得C（ ，0），F（0，﹣ ），
∴tan∠OFC= 
= ，
∵DQ∥y轴，
∴∠QDH=∠MFD=∠OFC，
∴tan∠HDQ= ，
不妨设DQ=t，DH= 
t，HQ= 
t，
∵△QDE是以DQ为腰的等腰三角形，
∴若DQ=DE，则S△DEQ= 
DEHQ= × 
t×t= 
t2，
若DQ=QE，则S△DEQ= DEHQ= ×2DHHQ= × 
t× t= 
t2，
∵ t2＜ t2，
∴当DQ=QE时△DEQ的面积比DQ=DE时大．
设Q点坐标为（x，x2+2x﹣3），则D（x， x﹣ ），
∵Q点在直线CF的下方，
∴DQ=t= x﹣ ﹣（x2+2x﹣3）=﹣x2﹣ 
x+ 
，
当x=﹣ 时，tmax=3，
∴（S△DEQ）max= t2= 
，
即以QD为腰的等腰三角形的面积最大值为
【解析】（1）利用待定系数法把B坐标代入解析式即可;（2）由平分可得△BPO≌△B′PO或△BOP≌△B′OP，连立y=x与AP的解析式可解决；（3）最值问题可利用函数思想解决，构建关于面积的函数，利用配方法解决.
