Question

如图，抛物线y=ax²+bx+c经过A （-1，0）、B （3，0）、C （0，3）三点，对称轴与抛物线相交于点P、与直线BC相交于点M．

（1）求该抛物线的解析式：

 

；
（2）在BC上方的抛物线上是否存在一点K，使四边形ABKC的面积最大？若存在，求出K点的坐标及最大面积；
（3）连接CP，在第一象限的抛物线上是否存在一点R，使△RPM与△RMB的面积相等？若存在，求出点R的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）把三点坐标代入函数式，列式求得a，b，c的值，即求出解析式；
（2）设存在点K，使得四边形ABKC的面积最大，根据点K在抛物线y=-x²+2x+3上设点K的坐标为：（x，-x²+2x+3），根据S_{四边形ABKC}=S_△AOC+S_梯形ONKC+S_△BNK得到有关x的二次函数求得最大值即可．
（3）求得点M，由点M，P的纵坐标关系可知，点R存在，y=2代入解得．

解答：解：（1）把三点代入抛物线解析式

a-b+c=0 9a+3b+c=0 c=3

即得：

a=-1 b=2 c=3

所以二次函数式为y=-x²+2x+3；

（2）设存在点K，使得四边形ABKC的面积最大
∵点K在抛物线y=-x²+2x+3上，
∴设点K的坐标为：（x，-x²+2x+3），
作KN⊥AB于点N，
根据题意得：AO=1，OC=3，ON=x，BN=3-x，KN=-x²+2x+3，
∴S_{四边形ABKC}=S_△AOC+S_梯形ONKC+S_△BNK
=

1

2

AO•CO+

1

2

（OC+KN）•ON+

1

2

KN•BN
=

1

2

×1×3+

1

2

×（3-x²+2x+3）•x+

1

2

×（x-3）（-x²+2x+3）
=-

3

2

x²+

9

2

x+6
=-

3

2

（x-

3

2

）²+

75

8

，
∵x=

3

2

时，-x²+2x+3=-

9

4

+2×

3

2

+3=

15

4

，
∴在BC上方的抛物线上存在一点K（

3

2

，

15

4

），使四边形ABKC的面积最大，最大面积为

75

8

；

（3）由题意求得直线BC代入x=1，则y=2，
∴M（1，2），
由点M，P的坐标可知：
点R存在，即过点M平行于x轴的直线，
则代入y=2，x²-2x-1=0，
解得x=1-

2

（在对称轴的左侧，舍去），x=1+

2

，即点R（1+

2

，2）．

点评：本题考查了二次函数的综合运用，考查到了三点确定二次函数解析式；点M的纵坐标的长度是点P的一半，从而解得．本题逻辑思维性强，需要耐心和细心，是道好题．