题目内容
【题目】如图，已知□ABCD中，AD=3cm，CD=1cm，∠B=45°，点P从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为3cm/s；点Q从点C出发，沿CD方向匀速运动，速度为1cm/s，连接并延长QP交BA的延长线于点M，过M作MN⊥BC，垂足是N，设运动时间为t（s）（0＜t＜1），解答下列问题：
（1）是否存在时刻t，使点P在∠BCD的平分线上；
（2）设四边形ANPM的面积为S（cm），求S与t之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使四边形ANPM与□ABCD面积相等，若存在，求出相应的t值，若不存在，说明理由；
（4）求t为何值时，△ABN为等腰三角形．
备用图
【答案】(1)
;(2) 
（0＜t＜1）;(3)见解析;(4)
-1
【解析】（1）当PC平分∠BCD时，则∠DCP=∠PCB， 由平行线的性质得到∠DPC=∠PCB，进而得到∠DPC=∠DCP， 由等角对等边得到DC=PD，代入求出即可；
（2）求出AP和MN的值，根据三角形的面积公式求出即可；
（3）假设存在某一时刻t，四边形ANPM的面积等于平行四边形ABCD的面积．根据（2）中求出的关系式，列方程求出t的值；
（4）分三种情况讨论：①AB=BN，②AB=AN，③BN=AN．
（1）当PC平分∠BCD时，则∠DCP=∠PCB， ∵AD∥BC， ∴∠DPC=∠PCB， ∴∠DPC=∠DCP， ∴DC=PD．
∵DC=1，PD=3-3t， ∴3-3t=1，3t=2，t=．
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠MAP=∠QDP．
又∵∠MPA=∠QPD，∴△MAP∽△QDP．
∴
∴
，解得：AM=t．
∵AB=CD=1，∴MB=1+t．
∵MN⊥BC，∠B=45°，∴sin45°=
，∴MN=
．
又∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC又∵MN⊥BC，∴MN⊥AD，
∴SANPM=S△MAP+S△NAP=
APOM+APON=AP（OM+ON）=APMN
=
=
∴S与t之间的函数关系式为
（0＜t＜1）；
（3）不存在．理由如下：
过A作AG⊥BC于G．
∵∠B=45°，AB=1，∴AG=
．
∵SANPM=SABCD，∴=
，∴
，解得：t=－2，t=1．
∵0＜t＜1，∴不存在在某一时刻t，使四边形ANPM与□ABCD面积相等．
(4)由（2）可知：AM=t，∴BM=1+t．
∵∠B=45°，∴MN=BN=
．AD∥BC，∴∠MAD=∠B=45°，∠AOM=∠BNM=90°．
∵AM=t， ∴AO=MO=
．
∵NO=AG=，∴AN=
．分三种情况讨论：
①当AB=BN时，=1，解得：
；
②当AB=AN时，=1，解得：t=1（舍去）；
③当BN=AN时，=时，解得：t=0 (舍)．
综上所述：当时，△ABN为等腰三角形．
小学生10分钟口算测试100分系列答案
【题目】某村在推进美丽乡村活动中，决定建设幸福广场，计划铺设相同大小规格的红色和蓝色地砖．经过调査．获取信息如下：
购买数量低于5000块 | 购买数量不低于5000块 | |
红色地砖 | 原价销售 | 以八折销售 |
蓝色地砖 | 原价销售 | 以九折销售 |
如果购买红色地砖4000块，蓝色地砖6000块，需付款86000元；如果购买红色地砖10000块，蓝色地砖3500块，需付款99000元．
（1）红色地砖与蓝色地砖的单价各多少元？
（2）经过测算，需要购置地砖12000块，其中蓝色地砖的数量不少于红色地砖的一半，并且不超过6000块，如何购买付款最少？请说明理由．
