题目内容
6．如图①，已知正方形ABCD的边长为2，半圆O的直径为CD，点E从A出发以每秒1个单位长度向D运动，点F从C出发以每秒2个单位长度向B运动，当点F运动到点B时，点E也随之停止运动，设运动的时间为t秒．（1）当EF与半圆O相切时，求t的值；
（2）如图②，点P是EF的中点，点Q是△PDC的外心．
①当t=$\frac{4}{5}$时，求PQ的长；
②直接写出点Q运动路线的长．
分析 （1）如图1中，设直线EF与⊙O相切于点K．作FM⊥AD于M．则四边形CDMF是矩形，易知ED=EK=2-t，FC=FK=2t，推出EF=2+t，EM=2-t-2t=2-3t，FM=CD=2，在Rt△EFM中，根据EF2=FM2+EM2，列出方程即可解决问题；
（2）①如图2中，当t=$\frac{4}{5}$时，AE=$\frac{4}{5}$，CF=$\frac{8}{5}$，ED=2-$\frac{4}{5}$=$\frac{6}{5}$，由四边形CDEF是直角梯形，根据OP=$\frac{DE+CF}{2}$，求出OP，再根据外心的性质即可解决问题．Q是△PDC的外心，得出PQ=$\frac{2}{3}$OP．
②求出起始位置时、终止位置时QO的长即可解决问题；
解答 解：（1）如图1中，设直线EF与⊙O相切于点K．作FM⊥AD于M．则四边形CDMF是矩形，
易知ED=EK=2-t，FC=FK=2t，
∴EF=2+t，EM=2-t-2t=2-3t，FM=CD=2，
在Rt△EFM中，∵EF2=FM2+EM2，
∴（2+t）2=22+（2-3t）2，
∴t=$\frac{1}{4}$或1（舍弃），
∵t=$\frac{1}{4}$s时，直线EF与⊙O相切．
（2）①如图2中，当t=$\frac{4}{5}$时，AE=$\frac{4}{5}$，CF=$\frac{8}{5}$，ED=2-$\frac{4}{5}$=$\frac{6}{5}$
∵四边形CDEF是直角梯形，
又∵EP=PF，DO=OC，
∴OP=$\frac{DE+CF}{2}$=$\frac{7}{5}$，
∵Q是△PDC的外心，
∴PQ=$\frac{2}{3}$OP=$\frac{14}{15}$．
②如图3中，
当点F运动到与B重合时，OP=$\frac{3}{2}$，OQ=$\frac{1}{3}$OP=$\frac{1}{2}$，
当起始位置时，OQ=$\frac{1}{3}$，
∴点Q的运动路径为$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{6}$．
点评 本题考查圆综合题、切线的判定和性质、勾股定理、直角梯形的性质．三角形的外心的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．
天天向上一本好卷系列答案
小学生10分钟应用题系列答案
如图，E是?ABCD边DC上一点，请你只用一把没有刻度的直尺，在AB边上确定一点F，使得BF=DE，画出示意图，并简要说明画图过程．
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，D为AB中点，DE⊥AC于E，AB=8，则DE的长度为（ ）
如图，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E=α，DP，CP分别平分∠EDC，∠BCD，则∠P的度数是（ ）| A． | 90°+$\frac{1}{2}$α | B． | $\frac{1}{2}α$-90° | C． | $\frac{1}{2}α$ | D． | 540°$-\frac{1}{2}α$ |
| A． | 一定是平行四边形 | B． | 一定是菱形 | ||
| C． | 一定是矩形 | D． | 一定是正方形 |
如图，在△ABC，AB=AC，点D为BC的中点，AE是∠BAC外角的平分线，DE∥AB交AE于E，则四边形ADCE的形状是矩形．