Question

4．如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，已知点A（-1，-1），点B在第二象限，OB=2$\sqrt{2}$，抛物线y=$\frac{3}{5}$x²+bx+c经过点A和B．
（1）求点B的坐标；
（2）求抛物线y=$\frac{3}{5}$x²+bx+c的对称轴；
（3）如果该抛物线的对称轴分别和边AO、BO的延长线交于点C、D，设点E在直线AB上，当△BOE和△BCD相似时，直接写出点E的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据互相垂直的两直线一次项系数的乘积为-1，可得BO的解析式，根据勾股定理，可得B点坐标；
（2）根据待定系数法，可得函数解析式，根据配方法，可得答案；
（3）根据待定系数，可得AB的解析式，根据自变量与函数值的对应关系，可得E、F点的坐标，分类讨论：△BCD∽△BEO时，可得F点坐标；△BCD∽△BOE时，根据相似于同一个三角形的两个三角形相似，可得△BFO∽BOE，根据相似三角形的性质，可得BF的长，根据勾股定理，可得F点坐标．

解答 解：（1）AO的解析式为y=x，AO⊥BO，
BO的解析式为y=-x，设B点坐标为（a，-a），
由OB=2$\sqrt{2}$，得
$\sqrt{{a}^{2}+（-a）^{2}}$=2$\sqrt{2}$．
解得a=2（不符合题意，舍），或a=-2，
B（-2，2）；
（2）将A、B点坐标代入函数解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{5}-b+c=-1}\\{\frac{3}{5}×4-2b+c=2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-\frac{6}{5}}\\{c=-\frac{14}{5}}\end{array}\right.$，
y=$\frac{3}{5}$x²-$\frac{6}{5}$x-$\frac{14}{5}$=$\frac{3}{5}$（x-1）²-$\frac{17}{5}$，
对称轴是直线x=1；
（3）设AB的解析式为y=kx+b，
将A、B点的坐标代入，得
$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=-1}\\{-2k+b=2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-3}\\{b=-4}\end{array}\right.$，
AB的解析式为y=-3x-4．
当y=0时，x=-$\frac{4}{3}$，即F（-$\frac{4}{3}$，0）．
AO：y=x，当x=1时，y=1，即C（1，1）；
BO：y=-x，当x=1时，y=-1，即D（1，-1）；
AB=BC=$\sqrt{10}$，AO=OC=$\sqrt{2}$．
①图1，
∠CBD=∠ABD，∠BOF=∠BDC=45°，△BCD∽△BEO时．
此时，F与E重合，E（-$\frac{4}{3}$，0）；
②图2，设E点坐标为（b，-3b-4），
△BCD∽△BOE时，
∵△BCD∽△BFO，
∴△BFO∽BOE，
$\frac{BO}{BE}$=$\frac{BF}{BO}$，
∴BO²=BF•BE，
8=$\frac{2\sqrt{10}}{3}$•BE，
BE=$\frac{6\sqrt{10}}{5}$，
$\sqrt{（b+2）^{2}+（-3b-4-2）^{2}}$=$\frac{6\sqrt{10}}{b}$，
解得b=-$\frac{4}{5}$，-3b-4=-3×（-$\frac{4}{5}$）-4=-$\frac{8}{5}$，
∴E（-$\frac{4}{5}$，-$\frac{8}{5}$），
综上所述：当△BOE和△BCD相似时，直接写出点E的坐标（-$\frac{4}{3}$，0），（-$\frac{4}{5}$，-$\frac{8}{5}$）．

点评 本题考查了二次函数综合题，利用互相垂直的两直线一次项系数的乘积为-1得出BO的解析式是解题关键；利用配方法得出对称轴是解题关键；利用相似于同一个三角形的两个三角形相似得出△BFO∽BOE，又利用了相似三角形的性质．