Question

2．函数y₁=ax²（a≠0）与直线y₂=2x-3交于点A（1，b）、B（m，n）．
（1）求b的值及点B的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）当x取何值时，二次函数y=ax²中的y随x的增大而增大？
（4）直接写出当x为何值时，y₁＞y₂，y₁=y₂，y₁＜y₂；
（5）求抛物线与直线y=-2的两个交点及顶点所围成的三角形的面积．

Answer 1

分析 （1）把点A（1，b）代入函数y₂的解析式求出b，再代入函数y₁的解析式求出a，列出方程组即可确定B点坐标．
（2）利用待定系数法即可解决．
（3）利用二次函数的增减性即可解决．
（4）画出函数图象，根据图象即可一一解决．
（5）利用方程组求出抛物线与直线y=-2的交点坐标，即可解决问题．

解答 解：（1）∵直线y₂=2x-3经过点A（1，b）、
∴b=2-3=-1，
∵y₁=ax²（a≠0）经过点A（1，-1）、
∴a=-1，
∵点B（m，n）在函数y₁=-x²（a≠0）与直线y₂=2x-3上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-{m}^{2}=n}\\{2m-3=n}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{m=1}\\{n=-1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m=-3}\\{n=-9}\end{array}\right.$，
∵点A（1，-1）、
∴点B坐标为（-3，-9）．

（2）由（1）可知抛物线的解析式为y=-x²．

（3）∵抛物线y=-x²的对称轴是x=0，a=-1＜0，
∴抛物线开口向下，
∴x＜0时，y随x的增大而增大．

（4）由图象可知，
当-3＜x＜1时，y₁＞y₂，
当x=-3或1时，y₁=y₂，
当x＜-3或x＞1时，y₁＜y₂．


（5）由$\left\{\begin{array}{l}{y=-2}\\{y=-{x}^{2}}\end{array}\right.$解得x=$±\sqrt{2}$，
∴抛物线与直线y=-2的交点坐标为E（-$\sqrt{2}$，-2），F（$\sqrt{2}$，-2）．
∴S_△EOF=$\frac{1}{2}$×$2\sqrt{2}$×2=2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查二次函数综合题、待定系数法，三角形的面积，函数的增减性等知识，解题的关键是熟练应用这些知识解决问题，学会利用图象根据要求确定自变量的取值范围，属于基础题，中考常考题型．