Question

18．如图，已知矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于点E、F．若AB=4，BC=8，求四边形AFCE的面积．

Answer 1

分析 由ASA证明△AOE≌△COF，得出对应边相等EO=FO，证出四边形AFCE为平行四边形，再由FE⊥AC，即可得出平行四边形AFCE为菱形，然后再利用勾股定理计算出AC和EF的长，进而可得四边形AFCE的面积．

解答 解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AE∥FC，
∴∠EAO=∠FCO，
∵EF垂直平分AC，
∴AO=CO，FE⊥AC，
在△AOE和△COF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAO=∠FCO}\\{AO=CO}\\{∠AOE=∠COF}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴EO=FO，
∴四边形AFCE为平行四边形，
又∵FE⊥AC，
∴平行四边形AFCE为菱形．
∴AF=FC，
设BF=x，则CF=AF=8-x，
在Rt△ABF中，AB²+BF²=AF²，
∴4²+x²=（8-x）²，
解得：x=3，
∴FC=5，
在Rt△ABC中，AC=$\sqrt{{4}^{2}+{8}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
∴CO=2$\sqrt{5}$，
在Rt△FCO中，FO=$\sqrt{F{C}^{2}-C{O}^{2}}$=$\sqrt{25-20}$=$\sqrt{5}$，
∴EF=2$\sqrt{5}$，
∴四边形AFCE的面积为；$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{5}$×4$\sqrt{5}$=20．

点评 此题主要考查了菱形的判定和菱形的面积，关键是掌握对角线互相垂直的平行四边形是菱形，菱形的面积等于对角线之积的一半．