Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，交轴正半轴于点，与过点的直线相交于另一点，过点作轴，垂足为．

（1）求抛物线的表达式；

（2）点在线段上（不与点，重合），过作轴，交直线于，交抛物线于点，于点，求的最大值；

（3）若是轴正半轴上的一动点，设的长为．是否存在，使以点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，

【解析】

（1）根据点B、D坐标，利用待定系数法求解即可得；

（2）先由（1）的结论求出点A坐标，再利用待定系数法求出直线AD的解析式，设，可得点M、N坐标，从而可用t表示MN的长，然后根据的面积的两种求法列出等式解出NE的表达式，最后利用二次函数的性质求解即可得；

（3）分点在左侧和在右侧两种情况，分别求出MN的值，再根据求解即可．

（1）把点，点代入得

解得

故抛物线的表达式为；

（2）令，代入抛物线解析式得

设直线的解析式为

将点代入直线的解析式得

解得

则直线的解析式为

设，（）

∴，

∴

∵

又∵

∴

解得

由二次函数的性质得：当时，随t的增大而增大；当时，随t的增大而减小

则当时，取得最大值，最大值为；

（3）∵

∴点的横坐标为

∴，

①在左侧时，

若，即，以点为顶点的四边形是平行四边形

∵，方程无实根

则此时不存在，使以点为顶点的四边形是平行四边形

②当在右侧时，

若，即，以点为顶点的四边形是平行四边形

解得，（舍）

则当时，以点为顶点的四边形是平行四边形

综上，存在这样的t，t的值为．